Ντεμιυπερκύβος

τάξη ν-πολυτόπου
(Ανακατεύθυνση από Ημιυπερκύβος)
Αυτό το λήμμα αφορά το γεωμετρικό πολύτοπο του ν-διάστατου ημικύβου ή αλλιώς ντεμικύβου. Για το αφηρημένο κανονικό πολύεδρο "ημικύβος", δείτε: Ημικύβος (γεωμετρία).
Για την έννοια ημικύβος στα γραφικά υπολογιστών, δείτε: Ημικύβος (γραφικά υπολογιστών).
Η εναλλαγή του ν-κύβου αποδόδει έναν από τους δύο ν-ντεμικύβους, όπως σε αυτή την 3-διαστάσεων απεικόνιση των δύο τετραέδρων που προκύπτουν ως 3-ντεμικύβοι του 3-κύβου.

Στην γεωμετρία, ο ντεμιυπερκύβος ή ημιυπερκύβος (που ονομάζεται επίσης ν-ντεμικύβος ή ν-ημικύβος, διεθνώς: demihypercube, n-demicube, n-hemicube, ή half measure polytope) είναι μία τάξη ν-πολυτόπου που κατασκευάστηκε από την εναλλαγή ενός ν-υπερκύβου, συμβολίζεται με ηγν (ενώ η οικογένεια των υπερκύβων, με γν). Οι μισές από τις κορυφές ενός υπερκύβου διαγράφονται και σχηματίζονται έτσι νέες έδρες. Οι 2ν έδρες γίνονται 2ν (ν-1)-ντεμικύβοι, και σχηματίζονται 2ν (ν-1)-πλέγματα εδρών στη θέση των διαγεγραμμένων κορυφών.

Όλοι οι υπερκύβοι παίρνουν και το πρόθεμα ντεμί- στο όνομά τους: ντεμί-κύβος, ντεμί-τεσσεράκτιο, κοκ. Ο ντεμικύβος είναι πανομοιότυπος με το κανονικό τετράεδρο, και το ντεμιτεσσεράκτιο είναι πανομοιότυπο με το κανονικό δεκαεξάχωρο. Το ντεμιπεντεράκτιο θεωρείται ημικανονικό διότι έχει μόνον τις έδρες του κανονικές. Οι υπόλοιπες υψηλότερες μορφές δεν έχουν όλες τις έδρες τους κανονικές, αλλά όλες αυτές οι μορφές είναι ενιαία πολύτοπα.

Οι κορυφές και οι ακμές ενός ντεμιυπερκύβου αποτελούν δύο αντίγραφα γραφήματος του κατά το ήμισυ κύβου.

ΑνακάλυψηΕπεξεργασία

Ο Thorold Gosset περιγράφει το ντεμιπεντεράκτιο στη λίστα δημοσίευσής του το 1900, που αφορούσε το σύνολο των τακτικών και ημικανονικών σχημάτων με ν-διαστάσεις περισσότερες από τρεις. Εκεί το ονόμασε ως 5-ic ημικανονικό. Εντάσσεται, επίσης, στην οικογένεια των ημικανονικών k21 πολυτόπων (Semiregular k21 polytope family).

Οι ντεμιυπερκύβοι μπορούν να συμβολιστούν με Schläfli σημειογραφία της μορφής η{4,3,...,3} ως το ήμισυ των κορυφων του {4,3,...,3}. Το σχήμα κορυφών των ντεμιυπερκύβων είναι διορθωμένο με ν-πλέγματα.

ΚατασκευήΕπεξεργασία

Υλοποιείται από διαγράμματα Coxeter-Dynkin τριών κατασκευαστικών μορφών:

  1.      ...  (Ως ενναλακτικό ορθότοπο) sr{2n-1}
  2.     ...   (Ως ενναλακτικός υπερκύβος) h{4,3n-1}
  3.     ...  . (Ως ντεμιυπερκύβος) {31,n-3,1}

Ο Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ επισημαίνει επίσης τα τρίτα διακλαδούμενα διαγράμματα ως 1k1 να αντιπροσωπεύουν τα μήκη των 3 ​​κλάδων και να οδηγούνται από τον κλάδο δακτυλίου.

Ένας ν-ντεμικύβος, όταν το ν είναι μεγαλύτερο του 2, έχει ν × (ν-1) / 2 ακμές να συναντώνται σε κάθε κορυφή του. Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν λιγότερες ακμές σε κάθε κορυφή λόγω της επικάλυψης των ακμών στην προβολή της συμμετρίας.

n  1k1  Πέτρι
πολύγωνο
Schläfli Coxeter-Dynkin
A1n οικογένεια
BCn οικογένεια
Dn οικογένεια
Στοιχεία Έδρες:
Ντεμιυπερκύβοι &
Πλέγματα
Σχήμα κορυφών
Κορυφές Ακμές      Επιφάνειες Κελιά 4-επιφ. 5-επιφ. 6-επιφ. 7-επιφ. 8-επιφ. 9-επιφ.
2 1-1,1 ντεμιτετράγωνο
(δίγωνο)
 
sr{21}
h{4}
{31,-1,1}
   
   
   
2 2                  
2 ακμές
--
3 101 ντεμικύβος
(τετράεδρο)
  
sr{22}
h{4,3}
{31,0,1}
     
     
   
4 6 4               6 δίγωνα
4 τρίγωνα
Τρίγωνο
(Διορθωμένο τρίγωνο)
4 111 ντεμιτεσσεράκτιο
(δεκαεξάχωρο)
  
sr{23}
h{4,3,3}
{31,1,1}
       
       
     
8 24 32 16             8 ντεμικύβοι
(τετράεδρα)
8 τετράεδρα
Οκτάεδρο
(Διορθωμένο τετράεδρο)
5 121 ντεμιπεντεράκτιο
  
sr{24}
h{4,33}{31,2,1}
         
         
       
16 80 160 120 26           10 δεκαεξάχωρα
16 πεντάχωρα
Διορθωμένο πεντάχωρο
6 131 ντεμιεξεράκτιο
  
sr{25}
h{4,34}{31,3,1}
           
           
         
32 240 640 640 252 44         12 ντεμιπεντεράκτια
32 5-πλέγμα
Διορθωμένο εξάτερο
7 141 ντεμιεπτεράκτιο
  
sr{26}
h{4,35}{31,4,1}
             
             
           
64 672 2240 2800 1624 532 78       14 ντεμιεξεράκτια
64 6-πλέγμα
Διορθωμένο 6-πλέγμα
8 151 ντεμιοκτεράτκιο
  
sr{27}
h{4,36}{31,5,1}
               
               
             
128 1792 7168 10752 8288 4032 1136 144     16 ντεμιεπτεράκτια
128 7-πλέγμα
Διορθωμένο 7-πλέγμα
9 161 ντεμιεννεράκτιο
  
sr{28}
h{4,37}{31,6,1}
                 
                 
               
256 4608 21504 37632 36288 23520 9888 2448 274   18 ντεμιοκτεράτκια
256 8-πλέγμα
Διορθωμένο 8-πλέγμα
10 171 ντεμιδεκεράκτιο
  
sr{29}
h{4,38}{31,7,1}
                   
                   
                 
512 11520 61440 122880 142464 115584 64800 24000 5300 532 20 ντεμιεννεράκτια
512 9-πλέγμα
Διορθωμένο 9-πλέγμα
...
n 1n-3,1 n-ντεμικύβος sr{2n-1}
h{4,3n-2}
{31,n-3,1}
               ... 
             ...  
           ...  
2n-1   n (n-1)-ντεμικύβοι
2n (n-1)-πλέγμα
Διορθωμένο (n-1)-πλέγμα

Σε γενικές γραμμές, τα στοιχεία ενός ντεμικύβου μπορούν να προσδιοριστούν από τον αρχικό ν-κύβο: με Cn,m = mth-επιφάνεια συνυπολογίζοντας ότι n-κύβος = 2n-m × n! / ( m! × (n-m)! )

  • Κορυφές: Dn,0 = 1/2 × Cn,0 = 2n-1 (Παραμένουν οι μισές από τις κορυφές του n-κύβου)
  • Ακμές: Dn,1 = Cn,2 = 1/2 n(n-1) 2n-2 (Όλες οι αρχικές ακμές χάνονται, κάθε τετράγωνη έδρα δημιουργεί μια νέα ακμή)
  • Επιφάνειες: Dn,2 = 4 × Cn,3 = n(n-1)(n-2) 2n-3 (Όλες οι αρχικές επιφάνειες χάνονται, ο κάθε κύβος δημιουργεί 4 νέες τριγωνικές επιφάνειες)
  • Κελιά: Dn,3 = Cn,3 + 2n-4 Cn,4 (Τα τετράεδρα από τα αρχικά κελιά καθώς και νέα)
  • Υπερκελιά: Dn,4 = Cn,4 + 2n-5 Cn,5 (Τα 16-κελιά και τα 5-κελιά κατ' ακολουθίαν)
  • ...
  • [Για m=3...n-1]: Dn,m = Cn,m + 2n-1-m Cn,m+1 (Οι m-ντεμικύβοι και τα m-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)
  • ...
  • Έδρες: Dn,n-1 = n + 2n (Οι (n-1)-ντεμικύβοι και τα (n-1)-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)

Ομάδα συμμετρίαςΕπεξεργασία

Η ομάδα συμμετρίας του ντεμιυπερκύβου είναι η ομάδα Coxeter   [3n-3,1,1] έχει τάξη   και είναι ένας δείκτης 2 υποομάδας της ομάδας υπεροκτάεδρων (η οποία είναι η ομάδα Coxeter   [4,3n-1]).

Ορθοτοπικές κατασκευέςΕπεξεργασία

 
Ρομβικό δισφηνοειδές μέσα από ένα κυβοειδές

Κατασκευές όπως τα εναλλασσόμενα ορθότοπα έχουν την ίδια τοπολογία, αλλά μπορούν να επεκταθούν με διαφορετικά μήκη σε ν-άξονες συμμετρίας.

Το ρομβικό δισφηνοειδές είναι το τρισδιάστατο παράδειγμα ενός εναλλασσόμενου κυβοειδούς. Έχει τρία σύνολα από μήκη ακμών, και οι επιφάνειές του είναι σκαληνά τρίγωνα.

Περαιτέρω ανάγνωσηΕπεξεργασία

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

ΠηγέςΕπεξεργασία

  • Thorold Gosset (1900), On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan.
  • John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008), The Symmetries of Things (Chapter 26. p. 409: Hemicubes: 1n1), ISBN 978-1-56881-220-5.

Εξωτερικοί σύνδεσμοιΕπεξεργασία