Θεώρημα Μπεζού (πολυώνυμα)
Στην άλγεβρα, το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.[1][2][3][4][5]
Θεώρημα (Μπεζού) — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Παραδείγματα
ΕπεξεργασίαΠαράδειγμα 1ο
ΕπεξεργασίαΈστω το πολυώνυμο και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .
Παράδειγμα 2ο
ΕπεξεργασίαΈστω το πολυώνυμο και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .
Παράδειγμα 3ο
ΕπεξεργασίαΈστω το πολυώνυμο . Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι
και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το είναι μηδέν (που είναι ίσο με ).
Αποδείξεις
ΕπεξεργασίαΜε Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων
ΕπεξεργασίαΤο θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα και υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα και με , τέτοια ώστε
Επομένως, όταν το , τότε έχουμε ότι
Για , λαμβάνουμε ότι .
Με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων
ΕπεξεργασίαΘα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε και ,
- .
και θα γράψουμε . Επομένως,
Επομένως,
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι .
Συνέπειες
ΕπεξεργασίαΤο παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι ανν το είναι ρίζα.
Πόρισμα — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το είναι παράγοντας του ανν το είναι ρίζα του .
Πόρισμα — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του και του είναι .
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg.
- ↑ Μπασογιάννης, Αθανάσιος Μ. Πολυώνυμα: Θεωρία, μέθοδοι, ασκήσεις. Ιωάννινα.
- ↑ Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
- ↑ Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα.
- ↑ Ρούτσης, Νίκος (1972). Πολυώνυμα. Αθήνα.