Κανόνας του Sarrus

Στην γραμμική άλγεβρα, ο κανόνας του Sarrus είναι ένας μνημονικός κανόνας για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα $3\times 3$. Ο κανόνας είναι ως εξής: προσθέτουμε τις δύο πρώτες στήλες στο τέλος του πίνακα, προσθέτουμε το γινόμενο των τριών πρώτων διαγωνίων και αφαιρούμε το γινόμενο των τριών πρώτων αντιδιαγωνίων. Αυτό μας δίνει τον εξής τύπο:

Ο μνημονικός κανόνας του Sarrus, που προσθέτει το γινόμενο των στοιχείων των πράσινων διαγωνίων και αφαιρεί το γινόμενο των στοιχείων των κόκκινων αντιδιαγωνίων.

${\begin{aligned}\mathrm {det} (A)&={\color {green}A_{11}\cdot A_{22}\cdot A_{33}+A_{12}\cdot A_{23}\cdot A_{31}+A_{13}\cdot A_{21}\cdot A_{32}}\\&\qquad {-\color {red}A_{31}\cdot A_{22}\cdot A_{13}-A_{32}\cdot A_{23}\cdot A_{11}-A_{33}\cdot A_{21}\cdot A_{12}},\end{aligned}}$

που συμφωνεί με τον τύπο του Λάιμπνιτς και τον τύπο του Λαπλάς.

Ορισμός

Ο κανόνας έχει τα εξής τρία βήματα για έναν πίνακα $A$ διαστάσεων $3\times 3$:

1. Προσθέτουμε τις δύο πρώτες στήλες του πίνακα, στο τέλος του πίνακα (και λαμβάνουμε έναν πίνακα μεγέθους $5\times 3$).
2. Υπολογίζουμε τα τρία γινόμενα των διαγωνίων του καινούργιου πίνακα και τα προσθέτουμε.
3. Υπολογίζουμε τα τρία γινόμενα των αντιδιαγωνίων του καινούργιου πίνακα και τα αφαιρούμε από το προηγούμενο άθροισμα.

Το αποτέλεσμα είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα.

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα

$A={\begin{bmatrix}5&2&4\\3&0&1\\1&2&6\end{bmatrix}}.$

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Sarrus

έχουμε ότι η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο

${\begin{aligned}\mathrm {det} (A)&={\color {green}5\cdot 0\cdot 6+2\cdot 1\cdot 1+4\cdot 3\cdot 2}\\&\qquad {-\color {red}1\cdot 0\cdot 4-2\cdot 1\cdot 5-6\cdot 3\cdot 2}=-20.\end{aligned}}$

Παράδειγμα 2ο

Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.$

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Sarrus

έχουμε ότι η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο

${\begin{aligned}\mathrm {det} (A)&={\color {green}1\cdot 5\cdot 9+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8}\\&\qquad {-\color {red}7\cdot 5\cdot 3-8\cdot 6\cdot 1-9\cdot 4\cdot 2}=0.\end{aligned}}$

Για πίνακα 2 x 2

Ένας παρόμοιος μνημονικός κανόνας ισχύει για πίνακες $2\times 2$. Η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {det} (A)={\color {green}A_{11}\cdot A_{22}}-{\color {red}A_{12}\cdot A_{21}}.$

Δείτε επίσης

• Ορίζουσα
• Τύπος του Λάιμπνιτς
• Τύπος του Λαπλάς