Κυκλικά δεδομένα

Με τον όρο κυκλικά δεδομένα,αναφερόμαστε σε δεδομένα τα οποία μπορούν να αναπαρασταθούν ως σημεία πάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου. Θεωρούνται μια υπό-κατηγορία των κατευθυνόμενων δεδομένων, που εν γένει είναι δεδομένα των οποίων το χαρακτηριστικό ενδιαφέροντος είναι η κατεύθυνση ή η διεύθυνσή τους. Η συλλογή τέτοιου είδους δεδομένων, παρατηρείται κυρίως σε επιστημονικούς τομείς όπως η βιολογία, και η γεωγραφία, αλλά εν γένει μπορούν να προκύψουν σε οποιαδήποτε επιστημονική μελέτη, όπου το φαινόμενο παρατήρησης εμπεριέχει μια περιοδική συμπεριφορά. Η ιδιαίτερη μορφή των δεδομένων αυτών καθώς και οι ιδιαιτερότητες της μελέτης τους αποτελούν αντικείμενο εργασίας του ειδικού κλάδου της στατιστικής, που καλείται στατιστική κατεύθυνσης.

Ιδιαιτερότητες κυκλικών δεδομένων

Οι μετρήσεις κυκλικών δεδομένων εμφανίζουν μια σειρά από ιδιότητες που καθιστούν την αντιμετώπισή τους χαρακτηριστικά διαφορετική από αυτή των συνήθων δεδομένων "γραμμικών" μεταβλητών.

• Το υπό μελέτη χαρακτηριστικό δεν είναι το μέγεθος της παρατήρησης αλλά είτε η κατεύθυνση είτε το χρονικό σημείο μέσα στην περίοδο ενός φαινομένου.
• Η αναπαράσταση των κυκλικών δεδομένων , δεν είναι μοναδική καθώς εξαρτάται από την επιλογή συγκεκριμένης "μηδενικής" κατεύθυνσης αλλά και συμβατικά θετικής φοράς.
• Λόγω της απεικόνισης των παρατηρήσεων στην περιφέρεια ενός κύκλου, η αρχή και το τέλος του συστήματος αναφοράς συμπίπτουν (0^ο , 360^ο) με αποτέλεσμα την εμφάνιση περιοδικότητας.
• Δεν υπάρχει φυσική διάταξη των παρατηρήσεων, καθώς το εάν μια μέτρηση είναι συμβατικά μεγαλύτερη από κάποια άλλη είναι αποτέλεσμα των υποκειμενικών επιλογών που αναφέρθηκαν παραπάνω.

Μέτρο θέσης κυκλικών δεδομένων

Η αναπαράσταση των κυκλικών δεδομένων γίνεται κατά μοναδικότητα μέσω δύο συντεταγμένων, είτε ως ${\vec {u}}=(x,y)$ στο ορθοκανικό σύστημα είτε ως ${\vec {u}}=(r,a)$ σε πολικές συντεταγμένες. Οι δύο αυτές μορφές εναλλάσσονται μεταξύ τους μέσω των εξής σχέσεων:

Συσχέτιση ορθοκανονικών και πολικών συντεταγμένων.

${\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}$

Επειδή δεν απασχολεί το μέγεθος της παρατήρησης, τα διανύσματα θέσης των παρατηρήσεων θεωρούνται συνήθως μοναδιαία $(r=1)$.

Αυτού του είδους η αναπαράσταση καθιστά προφανές ότι ο συνήθης αριθμητικός μέσος, δεν είναι κατάλληλο μέτρο θέσης για τα κυκλικά δεδομένα καθώς στην συντριπτική πλειοψηφία θα επιστρέφει τιμές οι οποίες μπορεί να μην αντιστοιχούν με καμιά από τις παρατηρειθείσες.

Για τον λόγο αυτό εισάγεται η έννοια του συνισταμένου διανύσματος.

Ορισμός συνισταμένου διανύσματος

Έστω $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ σύνολο κυκλικών παρατηρήσεων με $a_{i},\forall i=1,2,\dots ,n$ να είναι οι αντίστοιχες κατευθύνσεις τους, ορίζεται:

${\vec {R}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \textstyle (\sum _{i=1}^{n}\cos a_{i},\textstyle \sum _{i=1}^{n}\sin a_{i})\equiv (C,S)$.

Με βάση το συνιστάμενο διάνυσμα ορίζεται ως μέση κατεύθυνση του συνόλου των παρατηρήσεων η κατεύθυνση ${\bar {a_{0}}}$:

${\begin{cases}\cos {\bar {a_{0}}}=C/R\\\\sin{\bar {a_{0}}}=S/R\end{cases}}$ όπου $\lVert {\vec {R}}\rVert =R={\sqrt {C^{2}+S^{2}}}.$

Ο ορισμός της μέσης κατεύθυνσης ως της κατεύθυνσης του συνισταμένου διανύσματος αποδεικνύεται ότι μας επιτρέπει να ξεφύγουμε από την υποκειμενική επιλογή του ορισμού της μηδενικής κατεύθυνσης και της θετικής φοράς περιστροφής.

Μέτρο μεταβλητότητας κυκλικών δεδομένων

Μια έτερη χρήσιμη ιδιότητα του συνιστάμενου διανύσματος είναι ότι το μέτρο του μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένδειξη της διασποράς του δείγματος. Αποδεικνύεται με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οτι η διασπορά ενός δείγματος κυκλικών δεδομένων είναι η ποσότητα $n-R.$

Κυκλικές Κατανομές

Η κυκλική κατανομή πιθανότητας είναι μια κατανομή στην οποία η συνολική πιθανότητα είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια ενός μοναδιαίου κύκλου. Στην ουσία, πρόκειται για έναν μηχανισμό αντιστοίχησης σε κάθε κατεύθυνση της πιθανότητας να εμφανιστεί στις παρατηρήσεις του δείγματος. Στην περίπτωση που εξετάζουμε μια κυκλική τυχαία μεταβλητή $\Theta$,η οποία είναι συνεχής στο διάστημα $[0,2\pi ]$ τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής που ακολουθεί η $\Theta$, οφείλει να υπακούει στις ακόλουθες ιδιότητες:

• $f(\theta )\geq 0,\forall \theta \in [0,2\pi ]$
• $\textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle f(\theta )d\theta =1$
• $f(\theta )=f(\theta +2k\pi ),\forall k\in \mathbb {N}$

Συνήθεις κυκλικές κατανομές

• Ομοιόμορφη κυκλική κατανομή

Η ομοιόμορφη κυκλική κατανομή αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως μηδενικό υπόδειγμα (null model). Στην περίπτωση που τα δεδομένα ακολουθούν αυτή την κατανομή δεν υπάρχει "επικρατέστερη" κατεύθυνση καθώς η συνολική πιθανότητα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την περιφέρεια του κύκλου. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ανεξάρτητη της τιμής της κυκλικής μεταβλητής $\Theta$, και δίνεται από τον τύπο:

$f(\theta )=1/2\pi ,0\leq \theta \leq 2\pi$.

• Κυκλική κανονική κατανομή ή κατανομή VonMises

Η κατανομή VonMises ίσως είναι η πιο διαδεδομένη κατανομή στα προβλήματα κυκλικών δεδομένων. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητάς της είναι:

$f(\theta |\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi I_{0}(\kappa )}}\exp\{\kappa \cos(\theta -\mu )\},0\leq \theta ,\mu \leq 2\pi ,\kappa \geq 0,$

όπου $I_{0}(\kappa )$ είναι η σταθερά κανονικοποίησης της τροποποιημένης συνάρτησης Bessel.

Η εν λόγω κατανομή εξαρτάται από τις παραμέτρους $\mu ,\kappa$ που είναι αντίστοιχα ενδεικτικές για την θέση και την συγκέντρωση της κατανομής. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι, η VonMises κατανομή ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών. Η κυκλική κανονική κατανομή είναι το κυκλικό ανάλογο της "γραμμικής" κανονικής κατανομής, καθώς είναι συμμετρική γύρω από την μέση κατεύθυνση $\mu$, όπου εμφανίζει και την μοναδική κορυφή, ενώ για μεγάλες τιμές του $\kappa$ αποδεικνύεται οτι προσεγγίζει την κανονική κατανομή $N(\mu ,1/\kappa )$.