Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία , ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με[1]:280[2]:112[3]:60-61

Περιστροφή του σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων κατά γωνία .
,

όπου είναι το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας .

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών,[1]: 282 [4] την ρομποτική,[5]:1-2 την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

Στις δύο διαστάσεις

Επεξεργασία
 
Περιστροφή του σημείου   αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων   κατά γωνία  , ώστε να πάρουμε το  . Η γωνία   είναι η γωνία του   με την αρχή των αξόνων και   είναι το μήκος του   (και του  ).

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία   αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής

 

Απόδειξη

Επεξεργασία

Θεωρούμε ένα σημείο   στο επίπεδο. Έστω   η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και   η γωνία μεταξύ του   και του άξονα xx'. Τότε   και  .

Έστω   το σημείο   περιεστρεμμένο κατά γωνία   αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του   με τον xx' είναι   και το μήκος του είναι  . Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι

 

και

 

Συνεπώς, ισχύει ότι

 

Παραδείγματα

Επεξεργασία
  • Περιστροφή του   κατά γωνία   μας δίνει το σημείο  , που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο
 
  • Η περιστροφή κατά   αντιστοιχεί στην
 
  • Η περιστροφή του σημείου   κατά γωνία   δίνεται από τον τύπο
 .
Παραδείγματα περιστροφών ως προς την αρχή των αξόνων
Περιστροφή του  .
Περιστροφή κατά  .
Γενικό παράδειγμα περιστροφής.

Ιδιότητες

Επεξεργασία
  • Ο πίνακας   είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον  . Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.
  • Η Ορίζουσα του πίνακα  .
  • Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες   και   είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία  , δηλαδή  .


Στις τρεις διαστάσεις

Επεξεργασία

Περιστροφή γύρω από τους άξονες

Επεξεργασία

Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία   γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:[6]:307[3]: 62 

 

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:

  και  

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 Καδιανακης, Ν.· Καρανασιος, Σ. (2014). Γραμμική άλγεβρα, αναλυτική γεωμετρία και εφαρμογές. Αθήνα. ISBN 960-91725-0-4. 
  2. Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  3. 3,0 3,1 Μουστάκας, Κ.· Παλιόκας, Ι.· Τσακίρης, Α.· Τζοβάρας, Δ. (2015). Γραφικά και εικονική πραγματικότητα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-255-4. 
  4. Αριστίδου, Ανδρέας. «Γραφικά υπολογιστών Βασικά μαθηματικά: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022. 
  5. Ασβεστας, Π. «Εισαγωγή στη Ρομποτική: Μετασχηματισμοί στις 2 διαστάσεις» (PDF). Σχολή Μηχανικών, Τμήμα Μηχανικών Βιοιατρικής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022. 
  6. Sernesi, E. (1993). Linear algebra : a geometric approach (English language έκδοση). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-40680-2.