Σημείο καμπής

Στο Διαφορικό λογισμό και τη διαφορική γεωμετρία, σημείο καμπής, ή καμπή (σπάνια καμπή) είναι το σημείο μιας ομαλής επίπεδης καμπύλης όπου η καμπυλότητα αλλάζει πρόσημο. Ειδικότερα, στην περίπτωση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, είναι ένα σημείο όπου η συνάρτηση αλλάζει από κοίλη (κοίλη προς τα κάτω) σε κυρτή (κοίλη προς τα πάνω), ή το αντίστροφο.

Διάγραμμα της y = x³ με σημείο καμπής στο (0,0), το οποίο είναι επίσης σταθερό σημείο.

Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f της κλάσης διαφορισιμότητας C² (η πρώτη παράγωγος f', και η δεύτερη παράγωγος f'', υπάρχουν και είναι συνεχείς), η συνθήκη f'' = 0 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ενός σημείου καμπής, αφού ένα σημείο της f'' = 0 πρέπει να περάσει για να αλλάξει η f'' από μια θετική τιμή (κοίλη προς τα πάνω) σε μια αρνητική τιμή (κοίλη προς τα κάτω) ή το αντίστροφο, καθώς η f'' είναι συνεχής- ένα σημείο καμπής της καμπύλης είναι εκεί όπου η f'' = 0 και αλλάζει το πρόσημό της στο σημείο αυτό (από θετικό σε αρνητικό ή από αρνητικό σε θετικό). Ένα σημείο όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλά δεν αλλάζει το πρόσημό της ονομάζεται μερικές φορές σημείο κυματισμού.

Στην αλγεβρική γεωμετρία ένα σημείο καμπής ορίζεται λίγο πιο γενικά, ως ένα κανονικό σημείο όπου η εφαπτομένη συναντά την καμπύλη σε τάξη τουλάχιστον 3, και ένα σημείο κυματισμού ή υπερχείλισης ορίζεται ως ένα σημείο όπου η εφαπτομένη συναντά την καμπύλη σε τάξη τουλάχιστον 4.

Ορισμός

Τα σημεία καμπής στη διαφορική γεωμετρία είναι τα σημεία της καμπύλης όπου η καμπυλότητα αλλάζει πρόσημο.

Παραδείγματος χάριν, η γραφική παράσταση της διαφορίσιμης συνάρτησης έχει σημείο καμπής στο (x, f(x)) αν και μόνο αν η πρώτη παράγωγος f' έχει ένα απομονωμένο ακρότατο στο x. (αυτό δεν είναι το ίδιο με το να πούμε ότι η f έχει ακρότατο). Δηλαδή, σε κάποια γειτονιά, το x είναι το ένα και μοναδικό σημείο στο οποίο το f' έχει (τοπικό) ελάχιστο ή μέγιστο. Αν όλα τα ακρότατα της f' είναι απομονωμένα, τότε ένα σημείο καμπής είναι ένα σημείο στη γραφική παράσταση της f στο οποίο η εφαπτομένη τέμνει την καμπύλη.

Ένα "σημείο καμπής με πτώση" είναι ένα σημείο καμπής όπου η παράγωγος είναι αρνητική και στις δύο πλευρές του σημείου- με άλλα λόγια, είναι ένα σημείο καμπής κοντά στο οποίο η συνάρτηση μειώνεται. Ένα αυξανόμενο σημείο καμπής είναι ένα σημείο όπου η παράγωγος είναι θετική και στις δύο πλευρές του σημείου- με άλλα λόγια, είναι ένα σημείο καμπής κοντά στο οποίο η συνάρτηση αυξάνεται.

Για μια ομαλή καμπύλη που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις, ένα σημείο είναι σημείο καμπής εάν η προσημασμένη καμπυλότητα του αλλάζει από συν σε μείον ή από μείον σε συν, δηλαδή αλλάζει πρόσημο.

Για μια ομαλή καμπύλη που είναι η γραφική παράσταση μιας διπλά διαφορίσιμης συνάρτησης, σημείο καμπής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει απομονωμένο μηδέν και αλλάζει πρόσημο.

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένα μη μοναδιαίο σημείο μιας αλγεβρικής καμπύλης είναι σημείο καμπής εάν και μόνο εάν ο αριθμός τομής της εφαπτομένης γραμμής και της καμπύλης (στο σημείο εφαπτομένης) είναι μεγαλύτερος από 2. Το κύριο κίνητρο αυτού του διαφορετικού ορισμού είναι ότι διαφορετικά το σύνολο των σημείων καμπής μιας καμπύλης δεν θα ήταν αλγεβρικό σύνολο. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των σημείων καμπής μιας επίπεδης αλγεβρικής καμπύλης είναι ακριβώς τα μη-ιδιάζοντα σημεία της που είναι μηδενικά της ορίζουσας του Έσσε της προβολικής ολοκλήρωσης .

Διάγραμμα της f(x) = sin(2x) από -π/4 έως 5π/4- η δεύτερη παράγωγος είναι f[[:Πρότυπο:]](x) = –4sin(2x), και το πρόσημό της είναι συνεπώς το αντίθετο του προσήμου του f. Η εφαπτομένη είναι μπλε όπου η καμπύλη είναι κυρτή (πάνω από τη δική της εφαπτομένη), πράσινη όπου είναι κοίλη (κάτω από την εφαπτομένη της) και κόκκινη στα σημεία καμπής: 0, π/2 και π

Απαραίτητη αλλά όχι επαρκής προϋπόθεση

Για μια συνάρτηση f, αν η δεύτερη παράγωγος της f″(x) υπάρχει στο x₀ και το x₀ είναι σημείο καμπής για την f, τότε f″(x₀) = 0, αλλά αυτή η συνθήκη δεν είναι επαρκής για την ύπαρξη σημείου καμπής, ακόμη και αν υπάρχουν παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης. Στην περίπτωση αυτή, χρειάζεται επίσης η χαμηλότερης τάξης (πάνω από τη δεύτερη) μη μηδενική παράγωγος να είναι περιττής τάξης (τρίτη, πέμπτη κ.λπ.). Εάν η χαμηλότερης τάξης μη μηδενική παράγωγος είναι άρτιας τάξης, το σημείο δεν είναι σημείο καμπής, αλλά σημείο κυματισμού. Ωστόσο, στην αλγεβρική γεωμετρία, τόσο τα σημεία καμπής όσο και τα σημεία κυμάτωσης ονομάζονται συνήθως σημεία καμπής. Ένα παράδειγμα σημείου κυμάτωσης είναι το x = 0 για τη συνάρτηση f που δίνεται από τη σχέση f(x) = x⁴.

Στους προηγούμενους ισχυρισμούς, υποτίθεται ότι η f έχει κάποια ανώτερης τάξης μη μηδενική παράγωγο στο x, πράγμα που δεν είναι απαραίτητα αληθές. Αν συμβαίνει αυτό, η συνθήκη ότι η πρώτη μη μηδενική παράγωγος έχει περιττή τάξη συνεπάγεται ότι το πρόσημο της f'(x) είναι το ίδιο και στις δύο πλευρές του x σε μια γειτονιά του x. Αν το πρόσημο αυτό είναι θετικό, το σημείο είναι ένα ανοδικό σημείο καμπής- αν είναι αρνητικό, το σημείο είναι ένα καθοδικό σημείο καμπής.

Επαρκείς συνθήκες σημείων καμπής:

1. Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης σημείου καμπής στην περίπτωση που f(x) είναι k φορές συνεχώς διαφορίσιμη σε μια ορισμένη γειτονιά ενός σημείου x₀ με k περιττό και k ≥ 3, είναι ότι f⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 για n = 2, ..., k − 1 και f^(k)(x₀) ≠ 0. Τότε η f(x) έχει σημείο καμπής στο x₀.
2. Μια άλλη γενικότερη επαρκής συνθήκη ύπαρξης απαιτεί οι f″(x₀ + ε) και f″(x₀ − ε) να έχουν αντίθετα πρόσημα στη γειτονιά του x₀ (Μπρόνστειν και Σεμεντιάγιεφ 2004, σ. 231).

Κατηγοριοποίηση των σημείων καμπής

Η y = x⁴ – x έχει 2η μηδενική παράγωγο στο σημείο (0,0), αλλά δεν είναι σημείο καμπής επειδή η τέταρτη παράγωγος είναι η πρώτη μη μηδενική παράγωγος ανώτερης τάξης (η τρίτη παράγωγος είναι επίσης μηδενική).

Τα σημεία καμπής μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με το αν η f'(x) είναι μηδενική ή μη μηδενική.

• αν η f'(x) είναι μηδέν, το σημείο είναι σταθερό σημείο καμπής
• αν η f'(x) δεν είναι μηδέν, το σημείο είναι μη σταθερό σημείο καμπής

Ένα σταθερό σημείο καμπής δεν είναι τοπικό ακρότατο. Γενικότερα, στο πλαίσιο συναρτήσεων πολλών πραγματικών μεταβλητών, ένα στάσιμο σημείο που δεν είναι τοπικό ακρότατο ονομάζεται σημείο σέλας.

Ένα παράδειγμα στάσιμου σημείου καμπής είναι το σημείο (0, 0) στη γραφική παράσταση της y = x³. Η εφαπτομένη είναι ο άξονας x, ο οποίος τέμνει τη γραφική παράσταση σε αυτό το σημείο.

Ένα παράδειγμα μη σταθερού σημείου καμπής είναι το σημείο (0, 0) στη γραφική παράσταση της y = x³ + ax, για οποιοδήποτε μη μηδενικό a. Η εφαπτομένη στην αρχή είναι η ευθεία y = ax, η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση σε αυτό το σημείο.

Συναρτήσεις με ασυνέχειες

Ορισμένες συναρτήσεις αλλάζουν κοιλότητα χωρίς να έχουν σημεία καμπής. Αντ' αυτού, μπορούν να αλλάζουν κοιλότητα γύρω από κατακόρυφες ασυμπτώτους ή ασυνέχειες. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ είναι κοίλη για αρνητική x και κυρτή για θετική x, αλλά δεν έχει σημεία καμπής επειδή το 0 δεν είναι στο πεδίο της συνάρτησης.

Συναρτήσεις με σημεία καμπής των οποίων η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται

Ορισμένες συνεχείς συναρτήσεις έχουν σημείο καμπής παρόλο που η δεύτερη παράγωγος δεν είναι ποτέ 0. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση της κυβικής ρίζας είναι κοίλη προς τα πάνω όταν το x είναι αρνητικό, και κοίλη προς τα κάτω όταν το x είναι θετικό, αλλά δεν έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στην αρχή.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Ερμιτιανός πίνακας
• Ακέραια περιοχή
• Ορίζουσα
• Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Mathematics for Physical Chemistry
• Applied Linear Algebra
• Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
• Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
• Linear Algebra and Geometry
• Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach
• A Mathematics Course for Political and Social Research

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Adams, Robert A.· Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. σελ. 744. ISBN 978-0-321-54928-0. 
• Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018), «Closed cycloids in a normed plane», Monatshefte für Mathematik 185 (1): 43–60, doi:10.1007/s00605-017-1030-5