Ταυτότητα Κασίνι
Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον -οστό αριθμό Φιμπονάτσι ισχύει ότι[1][2]
- .
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.
Παραδείγματα
ΕπεξεργασίαΜπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:
- Για , .
- Για , .
- Για , .
- Για , .
- Για , .
Αποδείξεις
ΕπεξεργασίαΜε χρήση πινάκων
ΕπεξεργασίαΓια κάθε οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:
Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι
Επομένως,
- .
Με μαθηματική επαγωγή
ΕπεξεργασίαΘα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:
- .
Βάση: Για , έχουμε ότι
- .
Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για , τότε
- .
Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι
- .
Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Γενικεύσεις
ΕπεξεργασίαΗ ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε με έχουμε ότι
Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε ισχύει ότι
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Grimaldi, Ralph P. Fibonacci and Catalan numbers: an introduction. Hoboken, N.J: John Wiley & Sons. ISBN 9780470631577.
- ↑ Trystram, Denis. «Solving recurrences and Fibonacci numbers» (PDF). Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.