Χρήστης:Alexelef/πρόχειρο
Ιστορία Επεξεργασία
Σήμερα, το βάση-10 (δεκαδικό) σύστημα, το οποίο πιθανόν υποκινείται από την καταμέτρηση των δέκα δακτύλων, υπάρχει παντού. Άλλες βάσεις έχουν χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν, ωστόσο, κάποιες συνεχίζουν να χρησιμοποιούνται σήμερα. Για παράδειγμα, το Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης, που χαρακτηρίζεται ως το πρώτο θεσιακό αριθμητικό σύστημα, ήταν βάσης-60. Οι ράβδοι καταμέτρησης και τα περισσότερα αριθμητήρια έχουν χρησιμοποιηθεί για να αναπαραστήσει τους αριθμούς σε ένα σύστημα αρίθμησης θέσης, αλλά δεν διέθετε την πραγματική αξία μηδέν. Το μηδέν υποδεικνύεται από ένα διάστημα μεταξύ εξηκονταδικών αριθμών. Από το 300 π.Χ., ένα σύμβολο στίξης (δύο λοξές γραμμές) ήταν συν-επιλογή ως σύμβολο κράτησης θέσης στο ίδιο Βαβυλωνιακό σύστημα. Σε ένα δισκίο που ανακαλύφθηκε σε Kish (χρονολογείται περίπου από το 700 π.Χ.), ο γραμματέας Bêl-bân-aplu έγραψε τα μηδενικά του, με τρία άγκιστρα, αντί για δύο λοξές γραμμές. [[[1]]] Η Βαβυλωνιακή κράτηση θέσης δεν ήταν ένα πραγματικό μηδενικό, διότι δε χρησιμοποιήθηκε μόνο του. Ούτε χρησιμοποιούταν στο τέλος ενός αριθμού. Έτσι, οι αριθμοί, όπως 2 και 120 (2 × 60), 3 και 180 (3 × 60), 4 και 240 (4 × 60), φαινόντουσαν ίδιοι γιατί από τους μεγαλύτερους αριθμούς έλειπε ένα τελικό εξηκονταδικό σύμβολο κράτησης θέσης. Μόνο το πλαίσιο θα μπορούσε να τους διακρίνει.
Πριν η θεσιακή σημειογραφία γίνει πρότυπο, απλά προσθετικά συστήματα (σημειογραφία αναφοράς-τιμών) όπως οι Ρωμαϊκοί Αριθμοί, χρησιμοποιήθηκαν, και λογιστές στην αρχαία Ρώμη και κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα χρησιμοποιούσαν τον άβακα ή πέτρινους μετρητές για να κάνουν αριθμητικές πράξεις. [[[2]]]
Με την καταμέτρηση σε ράβδους ή άβακα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, η γραφή των αρχικών, ενδιάμεσων και τελικών τιμών του υπολογισμού θα μπορούσε εύκολα να γίνει με ένα απλό προσθετικό σύστημα σε κάθε θέση ή στήλη. Αυτή η προσέγγιση δεν απαιτούσε την απομνημόνευση των πινάκων (όπως στη θεσιακή σημειογραφία) και θα μπορούσε να παράγει πρακτικά αποτελέσματα γρήγορα. Για τέσσερις αιώνες (από τον 13ο έως τον 16ο) υπήρξε έντονη διαφωνία μεταξύ εκείνων που πίστευαν στην υιοθέτηση του συστήματος θεσιακών στη γραφή των αριθμών και όσους ήθελαν να μείνουν με το προσθετικό- σύστημα-συν-άβακα. Αν και οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έχουν αντικαταστήσει σε μεγάλο βαθμό τον άβακα, ο τελευταίος εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην Ιαπωνία και άλλες Ασιατικές χώρες.
Ο Georges Ifrah καταλήγει στην Παγκόσμια Ιστορία Αριθμών:
Έτσι, φαίνεται πολύ πιθανό κάτω από τις συνθήκες αυτές ότι η ανακάλυψη του μηδενός και το σύστημα θέσης-τιμής ήταν εφευρέσεις μοναδικές στον Ινδικό πολιτισμό. Δεδομένου ότι η σημειογραφία Brahmi των πρώτων εννέα ακέραιων αριθμών (αναμφισβήτητα η γραφική προέλευση των σημερινών αριθμών και όλων των δεκαδικών αριθμητικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην Ινδία, τη Νοτιοανατολική και την Κεντρική Ασία και την Εγγύς Ανατολή) ήταν αυτόχθων και χωρίς καμία εξωτερική επιρροή, δεν μπορεί να υπάρξει καμία αμφιβολία ότι το δεκαδικό μας σύστημα γεννήθηκε στην Ινδία και ήταν προϊόν του Ινδικού πολιτισμού και μόνο.[3]
Ο Aryabhata δήλωσε "sthānam sthānam daśa guṇam" που σημαίνει "Από τόπο σε τόπο, δέκα φορές σε αξία».[citation needed] Ινδοί μαθηματικοί και αστρονόμοι, επίσης ανέπτυξαν σανσκριτικές θεσιακές αριθμητικές λέξεις για να περιγράψουν αστρονομικά γεγονότα ή αλγόριθμους που χρησιμοποιούν ποιητικό σούτρα.
Ψηφία και Αριθμοί Επεξεργασία
Το ψηφίο είναι αυτό που χρησιμοποιείται ως θέση σε ένα σύστημα θέσης-τιμής, και ο αριθμός είναι ένα ή περισσότερα ψηφία. Τα συνηθέστερα ψηφία του σήμερα είναι τα δεκαδικά ψηφία "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", και "9". Η διάκριση μεταξύ ενός ψηφίου και ενός αριθμού είναι εντονότερη στο πλαίσιο μίας αριθμητικής βάσης.
Ένας μη μηδενικός αριθμός με περισσότερες από μία θέσεις ψηφίου θα σημαίνει ένα διαφορετικό αριθμό σε μία διαφορετική αριθμητική βάση, αλλά σε γενικές γραμμές, τα ψηφία θα σημαίνουν το ίδιο.[5] Ο οκταδικής βάσης αριθμός 238 που περιέχει δύο ψηφία, τα "2" και "3" και έναν αριθμό βάσης (δείκτης) «8», σημαίνει 19. Στο σύστημα μας εδώ, ο δείκτης "8" του ο αριθμού 238 είναι μέρος του αριθμού, αλλά αυτό μπορεί να μην ισχύει πάντα. Φανταστείτε τον αριθμό "23" να έχει μια διφορούμενη αριθμητική βάση. Στη συνέχεια, το "23" θα μπορούσε πιθανότατα να είναι οποιασδήποτε βάσης, από βάσης-4 έως και βάσης-60. Στη βάση-4 το "23" σημαίνει 11, και στη βάση-60 σημαίνει τον αριθμό 123. Ο αριθμός «23», στην περίπτωση αυτή, αντιστοιχεί στο σύνολο των αριθμών {11, 13, 15, 17, 19, 21 , 23, ..., 121, 123} ενώ τα ψηφία του "2" και "3" διατηρούν πάντα την αρχική τους έννοια: το "2" σημαίνει "δύο", και το "3" σημαίνει "τρία".
Σε ορισμένες εφαρμογές, όταν ένας αριθμός με ένα σταθερό αριθμό θέσεων πρέπει να αντιπροσωπεύει ένα μεγαλύτερο αριθμό, χρησιμοποιείται μια υψηλότερη αριθμητική βάση με με περισσότερα ψηφία ανά θέση. Ένας τριψήφιος, δεκαδικός αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύει αριθμούς μόνο έως το 999. Αν όμως η αριθμητική βάση αυξάνεται στο 11, ας πούμε, με την προσθήκη του ψηφίου "Α", στη συνέχεια, τότε οι ίδιες τρεις θέσεις, μεγιστοποιημένες στο "ΑΑΑ", μπορούν να αποτελέσουν έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο το 1330. Θα μπορούσαμε να αυξήσουμε την αριθμητική βάση και πάλι και αντιστοιχίσουμε το "Β" στο 11, και ούτω καθεξής (αλλά υπάρχει επίσης μια πιθανή κρυπτογράφηση μεταξύ του αριθμού και του ψηφίου στον αριθμό-ψήφιο-αριθμός ιεραρχίας). Ένας τριψήφιος αριθμός "ZZZ" στη βάση του 60 θα μπορούσε να σημαίνει 215999. Αν χρησιμοποιήσουμε το σύνολο της συλλογής των αλφαριθμητικών μας θα μπορούσαμε τελικά να εξυπηρετήσουμε ένα σύστημα αρίθμησης βάσης-62, αλλά θα έχουμε αφαιρέσει δύο ψηφία, το κεφαλαίο "Ι" και το κεφαλαίο "O", για να μειωθεί η σύγχυση με τα ψηφία " 1 "και" 0 ".[6] Έχουμε μείνει με μια βάση-60, ή εξηκονταδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιεί 60 από τα 62 πρότυπα αλφαριθμητικά. (Αλλά βλέπετε εξηκονταδικό σύστημα κατωτέρω.)
Μετατροπή Βάσεων Επεξεργασία
Οι βάσεις μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους σχεδιάζοντας το διάγραμμα παραπάνω και αναδιατάσσοντας τα αντικείμενα ώστε να συμμορφώνονται με τη νέα βάση, για παράδειγμα:
241 στη βάση 5:
2 ομάδες των 52 4 ομάδες των 5 1 ομάδα των 1
ooooo ooooo
ooooo ooooo ooooo ooooo
ooooo ooooo + + o
ooooo ooooo ooooo ooooo
ooooo ooooo
είναι ίσο με 107 στη βάση 8:
1 ομάδα των 82 0 ομάδες των 8 7 ομάδες των 1
oooooooo
oooooooo
oooooooo
oooooooo + + ooooooo
oooooooo
oooooooo
oooooooo
oooooooo
Υπάρχει, ωστόσο, μια συντομότερη μέθοδος η οποία είναι ουσιαστικά η παραπάνω μέθοδος υπολογισμένη μαθηματικά. Επειδή εργαζόμαστε σε βάση-10, κανονικά, είναι ευκολότερο να σκεφτούμε αριθμούς με αυτόν τον τρόπο και ως εκ τούτου ευκολότερο να τους μετατρέψουμε σε βάση-10 πρώτα, αν και είναι δυνατόν (αλλά είναι δύσκολο αν κάποιος δεν είναι συνηθισμένος στην βάση στην οποία γίνεται η μετατροπή) να γίνει μετατροπή απευθείας μεταξύ των μη-δεκαδικών βάσεων χωρίς τη χρήση αυτού του ενδιάμεσου βήματος. (Ωστόσο, η μετατροπή από βάσεις όπως 8, 16 ή 256 σε βάση-2 μπορεί να επιτευχθεί με το να γράφεται κάθε ψηφίο σε δυαδικό σύστημα, και στη συνέχεια, η μετατροπή από τη βάση-2 σε π.χ βάση-16 μπορεί να επιτευχθεί με το γράψιμο κάθε ομάδας τεσσάρων δυαδικών ψηφίων ως ένα δεκαεξαδικό ψηφίο.)
Ένας αριθμός anan−1...a2a1a0 όπου τα a0, a1 ... an είναι όλα ψηφία σε μία βάση b (σημειώστε ότι εδώ, ο δείκτης δεν αναφέρεται στον αριθμό βάσης, αναφέρεται στο πλήθος των διαφορετικών αντικειμένων), ο αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύεται σε οποιαδήποτε άλλη βάση, συμπεριλαμβανομένης και της δεκαδικής, με:
Εξηκονταδικό Σύστημα Επεξεργασία
Το σύστημα εξηκονταδικών ή βάσης-60 χρησιμοποιήθηκε για τα ακέραια και τα κλασματικά τμήματα των Βαβυλωνιακών αριθμών και άλλων Μεσοποτάμιων συστημάτων, από ελληνιστικούς αστρονόμους χρησιμοποιώντας ελληνικό σύστημα αρίθμησης μόνο για το κλασματικό μέρος, και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται για το μοντέρνο χρόνο και τις γωνίες, αλλά μόνο για λεπτά και δευτερόλεπτα. Ωστόσο, δεν είναι όλες αυτές οι χρήσεις θεσιακές.
Ο μοντέρνος χρόνος διαχωρίζει κάθε θέση από την άνω και κάτω τελεία ή το σημείο. Για παράδειγμα, ο χρόνος μπορεί να είναι 10:25:59 (10 ώρες και 25 λεπτά και 59 δευτερόλεπτα). Οι γωνίες χρησιμοποιούν παρόμοιο σύστημα. Για παράδειγμα, μία γωνία μπορεί να είναι 10 ° 25'59 "(10 μοίρες 25 λεπτά 59 δευτερόλεπτα). Και στις δύο περιπτώσεις, μόνο τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα χρησιμοποιούν εξηκονταδικό σύστημα - οι γωνιακοί βαθμοί μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από 59 (μία περιστροφή γύρω από ένα κύκλο είναι 360 ° , δύο περιστροφές είναι 720 °, κλπ), και ο χρόνος και οι γωνίες χρησιμοποιούν δεκαδικά κλάσματα του δευτερολέπτου. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται από τους Ελληνιστικούς και της Αναγέννησης αστρονόμους, οι οποίοι χρησιμοποιούν τρίτα, τέταρτα, κλπ για ακριβέστερες προσαυξήσεις. Όπου εμείς θα γράφαμε 10 ° 25'59.392 ", αυτοί θα έγραφταν 10 ° 25'59" 23 '' '31' '' '12' '' '' ή 10 ° 25I59II23III31IV12V.
Χρησιμοποιώντας ένα ψηφιακό σύνολο ψηφίων με πεζά και κεφαλαία γράμματα επιτρέπεται η σύντομη σημειογραφία για τους εξηκονταδικούς αριθμούς, π.χ. το 10:25:59 γίνεται «Arz» (παραλείποντας τα Ι και Ο, αλλά όχι και τα ο i), το οποίο είναι χρήσιμο για χρήση σε URLs, κ.λπ., αλλά δεν είναι πολύ κατανοητή από τον άνθρωπο.
Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer εισήγαγε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους Βαβυλωνιακούς και τους Ελληνιστικούς αριθμούς που αντικαθιστά τη σύγχρονη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση, ενώ χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και χρησιμοποιώντας ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο μέσος συνοδικός μήνας που χρησιμοποιείται τόσο από τους Βαβυλωνιακούς όσο και τους Ελληνιστικούς αστρονόμους και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στο εβραϊκό ημερολόγιο είναι 29; 31,50,8,20 ημέρες, και η γωνία που χρησιμοποιείται στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσε να γραφτεί ως 10; 25,59, 23,31,12 βαθμούς.
Πληροφορική Επεξεργασία
Στην πληροφορική, το δυαδικό (βάση-2), οκταδικό (base-8) και δεκαεξαδικό (base-16) είναι βάσεις που χρησιμοποιούνται πιο συχνά. Οι υπολογιστές, σε πιο βασικό επίπεδο, ασχολούνται μόνο με ακολουθίες συμβατικών μηδενικών και μονάδων, και κατά συνέπεια είναι πιο εύκολο με την έννοια αυτή, να ασχοληθούν με δυνάμεις του δύο. Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιείται σαν "συντομογραφία" του δυαδικού - κάθε 4 δυαδικά ψηφία (bits) αφορούν ένα και μόνο ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Σε δεκαεξαδικό, τα έξι ψηφία μετά το 9 συμβολίζονται με Α, Β, C, D, Ε, και F (και μερικές φορές με a, b, c, d, e, και f).
Το οκταδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται επίσης ως ένας άλλος τρόπος για να αντιπροσωπεύουμε δυαδικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, η βάση είναι 8 και ως εκ τούτου μόνο τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, και 7 χρησιμοποιήθηκαν. Κατά τη μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό κάθε 3 bits αφορούν ένα και μόνο ένα οκταδικό αριθμό.
Μη-πρότυπα θεσιακά αριθμητικά συστήματα Επεξεργασία
Κύριο άρθρο: Μη-πρότυπα θεσιακά αριθμητικά συστήματα
Ενδιαφέρουσες ιδιότητες υπάρχουν όταν η βάση δεν είναι σταθερή ή θετική και όταν οι ομάδες συμβολισμών ψηφίων δηλώνουν αρνητικές τιμές. Υπάρχουν πολλές περισσότερες παραλλαγές. Τα συστήματα αυτά είναι πρακτικής και θεωρητικής αξία τους επιστήμονες της πληροφορικής.
Το ισορροπημένο τριαδικό χρησιμοποιεί μια βάση του 3, αλλά το σύνολο ψηφίων είναι το {_1,0,1} αντί για το {0,1,2}. Το "_1" έχει ισοδύναμη αξία με το -1. Η άρνηση ενός αριθμού διαμορφώνεται εύκολα με την αλλαγή της _ στο 1s. Αυτό το σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος ισορροπίας, το οποίο απαιτεί την εύρεση ενός ελάχιστου συνόλου γνωστών μετρητών-βάρους για να προσδιοριστεί ένα άγνωστο βάρος. Βάρη από 1, 3, 9, ... 3n γνωστές μονάδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καθορίσουν ένα άγνωστο βάρος έως και 1 + 3 + ... + 3n μονάδες. Ένα βάρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στις δύο πλευρές της ισορροπίας ή και καθόλου. Τα βάρη που χρησιμοποιούνται στο δίσκο του ζυγού έχουν το άγνωστο βάρος να ορίζεται με _1, με 1 αν χρησιμοποιηθεί για τον άδειο δίσκο, και με 0 αν δεν χρησιμοποιείται καθόλου. Αν ένας άγνωστο βάρος W εξισορροπείται με 3 (31) στον ένα δίσκο και με 1 και 27 (30 και 33) στον άλλον, τότε το βάρος του σε δεκαδικό είναι 25 ή 1011 σε ισορροπημένη βάση-3. (10113 = 1 × 33 + 0 × 32 − 1 × 31 + 1 × 30 = 25).
Το παραγοντικό αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιεί μία διαφορετική βάση radix, δίνοντας τα παραγοντικά ως τιμλες-θέσης που σχετίζονται με το Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων και υπολειμμάτων των συνόλων αριθμητικών συστημάτων. Αυτό το σύστημα απαριθμεί αποτελεσματικά τις μεταθέσεις. Ένα παράγωγο αυτού χρησιμοποιεί τους Πύργους Ανόι διαμόρφωσης παζλ ως ένα σύστημα καταμέτρησης. Η διαμόρφωση των πύργων μπορεί να τεθεί σε 1-προς-1 αντιστοιχία με το δεκαδικό νούμερο του βήματος στο οποίο λαμβάνει χώρα η διαμόρφωση και το αντίστροφο.
| Δεκαδικές Ισοδυναμίες: | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Ισορροπημένη βάση-3: | _10 | _11 | _1 | 0 | 1 | 11 | 10 | 11 | 111 | 110 | 111 | 101 |
| Βάση -2: | 1101 | 10 | 11 | 0 | 1 | 110 | 111 | 100 | 101 | 11010 | 11011 | 11000 |
| Παραγοντικό: | 0 | 10 | 100 | 110 | 200 | 210 | 1000 | 1010 | 1100 |
Μη-θεσιακές θέσεις Επεξεργασία
Κάθε θέση δε χρειάζεται να είναι θεσιακή. Οι Βαβυλωνιακοί εξηκονταδικοί αριθμοί ήταν θεσιακοί, αλλά σε κάθε θέση βρισκόντουσαν ομάδες των δύο ειδών γραμμών που εκπροσωπούσαν μονάδες και δεκάδες (μια στενή κάθετη γραμμή (|) και μια ανοιχτή αριστερή γραμμή κατάδειξης (<)) - μέχρι 14 χαρακτήρες ανά θέση (5 δεκάδες (<<<<<) και 9 μονάδες (|||||||||) ομαδοποιημένες σε ένα ή δύο κοντινά τετράγωνα που περιέχουν μέχρι τρεις σειρές των συμβόλων, ή μια κάτοχο θέσης (\\) για την έλλειψη μιας θέσης. [9] Οι Ελληνιστές αστρονόμοι χρησιμοποίησαν ένα ή δύο αλφαβητικά ελληνικά συστήματα αρίθμησης για κάθε θέση (ένα που επιλέχθηκε από 5 γράμματα και αντιπροσώπευε τους αριθμούς 10-50 ή / και ένα που επιλέχθηκε από 9 γράμματα κ αντιπροσώπευε τους αριθμούς 1-9, ή ένα μηδενικό-σύμβολο).[10]