Χωρίς βλάβη της γενικότητας

Χωρίς βλάβη της γενικότητας (συχνά συντομογραφείται σε Χβτγ · συχνά αναφέρεται και ως χωρίς απώλεια της γενικότητας) είναι μια έκφραση που χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά. Ο όρος χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει την υπόθεση ότι αυτό που ακολουθεί επιλέγεται αυθαίρετα, περιορίζοντας έτσι την υπόθεση σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά αυτό δεν επηρεάζει την εγκυρότητα της απόδειξης γενικά. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι αρκετά παρόμοιες με αυτή που παρουσιάστηκε, ώστε η απόδειξή τους ακολουθεί ουσιαστικά την ίδια λογική.^[1] Ως αποτέλεσμα, από τη στιγμή που δίνεται μια απόδειξη για τη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι τετριμμένη η προσαρμογή της για να αποδειχθεί το συμπέρασμα σε όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Σε πολλά σενάρια, η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" καθίσταται δυνατή από την παρουσία συμμετρίας.^[2] Για παράδειγμα, εάν κάποια ιδιότητα P(x,y) των πραγματικών αριθμών είναι γνωστό ότι είναι συμμετρική στα x και y, δηλαδή ότι το P(x,y) είναι ισοδύναμο με το P(y,x), τότε αποδεικνύοντας ότι το P(x,y) ισχύει για κάθε x και y, μπορούμε να υποθέσουμε "χωρίς βλάβη της γενικότητας" ότι x ≤ y. Δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας σε αυτή την υπόθεση, αφού μόλις αποδειχθεί η περίπτωση x ≤ y ⇒ P(x,y), ακολουθεί η άλλη περίπτωση με την εναλλαγή των x και y : y ≤ x ⇒ P(y,x), και από τη συμμετρία του P, αυτό συνεπάγεται ότι P(x,y), δείχνοντας έτσι ότι το P(x,y) ισχύει για όλες τις περιπτώσεις.

Από την άλλη πλευρά, εάν δεν μπορεί να καθοριστεί ούτε μία τέτοια συμμετρία ούτε κάποια άλλη μορφή ισοδυναμίας, τότε η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" είναι εσφαλμένη και μπορεί να οδηγήσει σε μια ανακολουθία, το οποίο είναι ένα είδος εσφαλμένου επιχειρήματος κατά την λογική.^[3]

Παράδειγμα

Θεωρήστε το ακόλουθο θεώρημα (το οποίο είναι μια περίπτωση της αρχής του περιστερώνα):

Εάν τρία αντικείμενα είναι βαμμένα το καθένα είτε κόκκινο είτε μπλε, τότε πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο αντικείμενα του ίδιου χρώματος.

Μία απόδειξη:

Ας υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το πρώτο αντικείμενο είναι κόκκινο. Εάν κάποιο από τα άλλα δύο αντικείμενα είναι κόκκινο, τότε έχουμε τελειώσει. Αν όχι, τότε τα άλλα δύο αντικείμενα πρέπει να είναι και τα δύο μπλε, οπότε έχουμε πάλι τελειώσει.

Το παραπάνω επιχείρημα λειτουργεί επειδή η ίδια ακριβώς συλλογιστική θα μπορούσε να εφαρμοστεί εάν γινόταν η εναλλακτική υπόθεση, δηλαδή ότι το πρώτο αντικείμενο είναι μπλε, ή, παρομοίως, ότι οι λέξεις "κόκκινο" και "μπλε" μπορούν να ανταλλάσσονται ελεύθερα στη διατύπωση της απόδειξης. Ως αποτέλεσμα, η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" ισχύει σε αυτή την περίπτωση.

Βιβλιογραφικές αναφορές

↑ Chartrand, Gary· Polimeni, Albert D. (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (2nd έκδοση). Pearson/Addison Wesley. σελίδες 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
↑ Dijkstra, Edsger W. (1997). «WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)». Στο: Broy, Manfred. Mathematical Methods in Program Development (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences. 158. Springer. σελίδες 33–34.
↑ «An Acyclic Inequality in Three Variables». www.cut-the-knot.org. Ανακτήθηκε στις 21 Οκτωβρίου 2019.

[1] Chartrand, Gary· Polimeni, Albert D. (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (2nd έκδοση). Pearson/Addison Wesley. σελίδες 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.

[2] Dijkstra, Edsger W. (1997). «WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)». Στο: Broy, Manfred. Mathematical Methods in Program Development (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences. 158. Springer. σελίδες 33–34.

[3] «An Acyclic Inequality in Three Variables». www.cut-the-knot.org. Ανακτήθηκε στις 21 Οκτωβρίου 2019.

[1]

[2]

[3]