Αναλλοίωτες του τανυστή

Στα μαθηματικά, στα πεδία της πολυγραμμικής άλγεβρας και της θεωρίας αναπαραστάσεων, οι κύριες αναλλοίωτες του τανυστή δεύτερης τάξεως $\mathbf {A}$ είναι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου

$\ p(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$,

όπου $\mathbf {I}$ είναι ο τελεστής ταυτότητας και $\lambda _{i}\in \mathbb {C}$ αντιπροσωπεύουν τις ιδιοτιμές του πολυωνύμου.

Γενικότερα, οποιαδήποτε συνάρτηση με κλιμακωτή τιμή $f(\mathbf {A} )$ είναι αναλλοίωτη της $\mathbf {A}$ αν και μόνο αν $f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )$ για όλα τα ορθογώνια $\mathbf {Q}$. Αυτό σημαίνει ότι ένας τύπος που εκφράζει ένα αναλλοίωτο σε όρους συνιστωσών, $A_{ij}$, θα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για όλες τις καρτεσιανές βάσεις. Παραδείγματος χάριν, παρόλο που οι μεμονωμένες διαγώνιες συνιστώσες του $\mathbf {A}$ θα αλλάξουν με την αλλαγή της βάσης, το άθροισμα των διαγώνιων συνιστωσών δεν θα αλλάξει.

Ιδιότητες

Οι κύριες αναλλοίωτες δεν αλλάζουν με τις περιστροφές του συστήματος συντεταγμένων (είναι αντικειμενικές ή, σε πιο σύγχρονη ορολογία, ικανοποιούν την αρχή της αδιαφορίας του υλικού πλαισίου) και κάθε συνάρτηση των κύριων αναλλοίωτων είναι επίσης αντικειμενική.

Υπολογισμός των αναλλοίωτων των τανυστών δεύτερης τάξεως

Στην πλειονότητα των μηχανολογικών εφαρμογών αναζητούνται οι κύριες αναλλοίωτες των τανυστών (δεύτερης τάξεως) διάστασης τρία, όπως για παράδειγμα για τον δεξιό τανυστή παραμόρφωσης Καούτσι-Γκριν (Cauchy-Green) $\mathbf {C}$ που έχει τις ιδιοτιμές $\lambda _{1}^{2}$, $\lambda _{2}^{2}$ και $\lambda _{3}^{2}$. Όπου $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, και $\lambda _{3}$ είναι οι κύριες εκτάσεις, δηλαδή οι ιδιοτιμές της $\mathbf {U} ={\sqrt {\mathbf {C} }}$.

Κύριες αναλλοίωτες

Για τέτοιους τανυστές, οι κύριες αναλλοίωτες δίνονται από:

${\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} (\mathbf {A} ))^{2}-\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\\I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}$

Για συμμετρικούς τανυστές, οι ορισμοί αυτοί μειώνονται.

Η αντιστοιχία μεταξύ των κύριων αναλλοίωτων και του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός τανυστή, σε συνδυασμό με το θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον αποκαλύπτει ότι

$\ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0$

όπου $\mathbf {I}$ είναι ο τανυστής ταυτότητας δεύτερης τάξεως.

Μικτές αναλλοίωτες τιμές

Επιπλέον, μπορούν επίσης να οριστούν μικτές αναλλοίωτες μεταξύ ζευγών τανυστών δεύτερης τάξεως.

Κύριες αναλλοίωτες τιμές

Εκτός από τις κύριες αναλλοίωτες που αναφέρονται παραπάνω, είναι επίσης δυνατό να εισαχθεί η έννοια της κύριας αναλλοίωτης

${\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}$

οι οποίες είναι συναρτήσεις των κύριων αναλλοίωτων παραπάνω. Αυτοί είναι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του αποκλίνοντος $\mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I}$, έτσι ώστε να είναι χωρίς ίχνη. Ο διαχωρισμός ενός τανυστή σε μια συνιστώσα που είναι πολλαπλάσιο της ταυτότητας και σε μια συνιστώσα χωρίς ίχνη είναι συνηθισμένος στην υδροδυναμική, όπου η πρώτη ονομάζεται ισοτροπική, παρέχοντας την τροποποιημένη πίεση, και η δεύτερη ονομάζεται αποκλίνουσα, παρέχοντας διατμητικά φαινόμενα.

Υπολογισμός των αναλλοίωτων των τανυστών τάξης δύο υψηλότερων διαστάσεων

Αυτές μπορούν να εξαχθούν με την άμεση αξιολόγηση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, χρησιμοποιώντας για παράδειγμα τον αλγόριθμο Φαντέεφ-ΛεΒερριέ.

Μηχανολογικές εφαρμογές

Μια κλιμακωτή συνάρτηση $f$ που εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τις κύριες αναλλοίωτες ενός τανυστή είναι αντικειμενική, δηλαδή ανεξάρτητη από τις περιστροφές του συστήματος συντεταγμένων. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συνήθως στη διατύπωση εκφράσεων κλειστής μορφής για την πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης, ή την ελεύθερη ενέργεια Χέλμχολτζ, ενός μη γραμμικού υλικού που διαθέτει ισοτροπική συμμετρία.

Αυτή η τεχνική εισήχθη για πρώτη φορά στην ισοτροπική τύρβη από τον Χάουαρντ Ρ. Ρόμπερτσον το 1940, όπου μπόρεσε να εξάγει την εξίσωση Καρμάν-Χόουαρθ από την αναλλοίωτη αρχή. Ο Τζορτζ Μπάτσελορ και ο Σουμπραχμανιάν Τσαντρασεκάρ αξιοποίησαν αυτή την τεχνική και ανέπτυξαν μια εκτεταμένη επεξεργασία για την αξονοσυμμετρική τύρβη.

Αναλλοίωτες των μη συμμετρικών τανυστών

Ένας πραγματικός τανυστής $\mathbf {A}$ σε τρισδιάστατη μορφή (δηλαδή ένας τανυστής με πίνακα συνιστωσών 3x3) έχει έως και έξι ανεξάρτητες αναλλοίωτες, τρεις είναι οι αναλλοίωτες του συμμετρικού μέρους του και τρεις χαρακτηρίζουν τον προσανατολισμό του αξονικού διανύσματος του λοξό-συμμετρικού μέρους σε σχέση με τις κύριες κατευθύνσεις του συμμετρικού μέρους. Για παράδειγμα, αν οι καρτεσιανές συνιστώσες του $\mathbf {A}$ είναι

$[A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},$

το πρώτο βήμα θα ήταν να εκτιμηθεί το αξονικό διάνυσμα $\mathbf {w}$ που σχετίζεται με το λοξό-συμμετρικό τμήμα. Συγκεκριμένα, το αξονικό διάνυσμα έχει συνιστώσες

${\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}$

Το επόμενο βήμα βρίσκει τις κύριες τιμές του συμμετρικού μέρους του $\mathbf {A}$. Παρόλο που οι ιδιοτιμές ενός πραγματικού μη συμμετρικού τανυστή μπορεί να είναι μιγαδικές, οι ιδιοτιμές του συμμετρικού μέρους του θα είναι πάντα πραγματικές και επομένως μπορούν να ταξινομηθούν από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη. Οι αντίστοιχες ορθοκανονικές κατευθύνσεις της κύριας βάσης μπορούν να αποδοθούν με αισθήσεις ώστε να διασφαλιστεί ότι το αξονικό διάνυσμα $\mathbf {w}$ δείχνει μέσα στην πρώτη οκτάδα. Σε σχέση με αυτή την ειδική βάση, οι συνιστώσες του $\mathbf {A}$ είναι

$[A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},$

Οι τρεις πρώτες αναλλοίωτες του $\mathbf {A}$ είναι οι διαγώνιες συνιστώσες αυτού του πίνακα: $a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625$ (ίσες με τις διατεταγμένες κύριες τιμές του συμμετρικού μέρους του τανυστή). Οι υπόλοιπες τρεις αναλλοίωτες είναι οι συνιστώσες του αξονικού διανύσματος σε αυτή τη βάση: $w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500$. Σημείωση: το μέγεθος του αξονικού διανύσματος, ${\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}$, είναι το μοναδικό αναλλοίωτο του λοξού τμήματος του $\mathbf {A}$, ενώ αυτές οι τρεις ξεχωριστές αναλλοίωτες χαρακτηρίζουν (κατά μία έννοια) την "ευθυγράμμιση" μεταξύ του συμμετρικού και του λοξού μέρους του $\mathbf {A}$. Παρεμπιπτόντως, είναι μύθος ότι ένας τανυστής είναι θετικά ορισμένος αν οι ιδιοτιμές του είναι θετικές. Αντίθετα, είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν οι ιδιοτιμές του συμμετρικού του μέρους είναι θετικές.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Ορίζουσα
• Υπερβολική γεωμετρία
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Coordinate Geometry for JEE Advanced, 3E (Free Sample)
• Classical Invariant Theory
• Cartesian Tensors in Engineering Science: The Commonwealth and International ...
• Advances on Tensor Analysis and their Applications

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
• von Petersdorff, Tobias (2006), «Critical Points of Autonomous Systems», Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), https://www.math.umd.edu/~petersd/246/stab.html 
• Bishop, Richard L.· :en: Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6. 
• Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e έκδοση). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.