Η ανισότητα Μπερνούλι (αναφέρεται και ως ανισότητα Bernoulli ) είναι η ανισότητα:[1] [2] [3] :65
Τα δύο μέλη της ανισότητας Μπερνούλι,
(
1
+
α
)
ν
{\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }}
και
1
+
ν
α
{\displaystyle 1+\nu \alpha }
, για
ν
=
2
,
3
,
4
,
5
{\displaystyle \nu =2,3,4,5}
. Παρατηρήστε ότι για
α
≥
−
1
{\displaystyle \alpha \geq -1}
η καμπύλη του πρώτου μέλους είναι άνω της ευθείας του δεύτερου μέλους. Για ζυγά
ν
{\displaystyle \nu }
αυτό ισχύει για όλα τα
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
.
(
1
+
α
)
ν
≥
1
+
ν
α
,
{\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \alpha ,}
για κάθε φυσικό αριθμό
ν
∈
N
{\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }
και πραγματικό αριθμό
α
∈
[
−
1
,
+
∞
)
{\displaystyle \alpha \in [-1,+\infty )}
.
Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για το
ν
{\displaystyle \nu }
.
Βασικό βήμα: Για
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς
(
1
+
α
)
0
=
1
=
1
+
α
⋅
0
{\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0}
.
Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για
ν
=
κ
{\displaystyle \nu =\kappa }
, δηλαδή
(
1
+
α
)
κ
≥
1
+
κ
α
{\displaystyle (1+\alpha )^{\kappa }\geq 1+\kappa \alpha }
, τότε για
ν
=
κ
+
1
{\displaystyle \nu =\kappa +1}
, έχουμε
(
1
+
α
)
κ
+
1
=
(
1
+
α
)
κ
⋅
(
1
+
α
)
≥
(
1
+
κ
α
)
⋅
(
1
+
α
)
=
1
+
κ
α
+
α
+
κ
α
2
=
1
+
(
κ
+
1
)
α
+
κ
α
2
≥
1
+
(
κ
+
1
)
α
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+\alpha )^{\kappa +1}&=(1+\alpha )^{\kappa }\cdot (1+\alpha )\\&\geq (1+\kappa \alpha )\cdot (1+\alpha )\\&=1+\kappa \alpha +\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&=1+(\kappa +1)\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&\geq 1+(\kappa +1)\alpha ,\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι
κ
α
2
≥
0
{\displaystyle \kappa \alpha ^{2}\geq 0}
καθώς
κ
≥
0
{\displaystyle \kappa \geq 0}
και
α
2
≥
0
{\displaystyle \alpha ^{2}\geq 0}
.
Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για
ν
=
κ
+
1
{\displaystyle \nu =\kappa +1}
, άρα και για όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Για
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς
(
1
+
α
)
0
=
1
=
1
+
α
⋅
0
{\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0}
.
Για
ν
≥
1
{\displaystyle \nu \geq 1}
, από διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι
(
1
+
α
)
ν
=
∑
i
=
0
ν
(
ν
i
)
α
i
⋅
1
ν
−
i
=
∑
i
=
0
ν
(
ν
i
)
α
i
,
{\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }=\sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}\cdot 1^{\nu -i}=\sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i},}
(1 )
όπου
(
ν
i
)
{\displaystyle {\binom {\nu }{i}}}
είναι οι διωνιμικοί συντελεστές . Αφού
(
ν
i
)
≥
0
{\displaystyle {\binom {\nu }{i}}\geq 0}
και
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
, δηλαδή κάθε όρος του αθροίσματος είναι μη-αρνητικός, έχουμε ότι:
∑
i
=
0
ν
(
ν
i
)
α
i
≥
∑
i
=
0
1
(
ν
i
)
α
i
=
(
ν
0
)
α
0
+
(
ν
1
)
α
1
=
1
+
ν
⋅
α
.
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\nu }{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}\geq \sum _{i=0}^{1}{\binom {\nu }{i}}\alpha ^{i}={\binom {\nu }{0}}\alpha ^{0}+{\binom {\nu }{1}}\alpha ^{1}=1+\nu \cdot \alpha .}
(2 )
Ενώνοντας τις σχέσεις (1 ) και (2 ), έχουμε ότι
(
1
+
α
)
ν
≥
1
+
ν
⋅
α
.
{\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \cdot \alpha .}
Η πρώτη γενίκευση είναι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό
α
{\displaystyle \alpha }
, όταν η δύναμη
ν
{\displaystyle \nu }
είναι ζυγός φυσικός αριθμός (δείτε το διάγραμμα για τις περιπτώσεις
ν
=
2
,
4
{\displaystyle \nu =2,4}
).
Απόδειξη
Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για τα ζυγά
ν
≥
0
{\displaystyle \nu \geq 0}
.
Βασικό βήμα: Για
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς
(
1
+
α
)
0
=
1
=
1
+
α
⋅
0
{\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0}
.
Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για
ν
=
2
κ
{\displaystyle \nu =2\kappa }
, δηλαδή
(
1
+
α
)
2
κ
≥
1
+
2
κ
α
{\displaystyle (1+\alpha )^{2\kappa }\geq 1+2\kappa \alpha }
, τότε για
ν
=
2
κ
+
2
{\displaystyle \nu =2\kappa +2}
, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Αν
1
+
2
κ
α
<
0
{\displaystyle 1+2\kappa \alpha <0}
, τότε το δεξί μέλος της ανισότητας είναι αρνητικό, ενώ το αριστερό είναι θετικό (ως πραγματικός αριθμός σε ζυγή δύναμη). Επομένως, η ανισότητα ισχύει.
Διαφορετικά, έχουμε
(
1
+
α
)
2
κ
+
2
=
(
1
+
α
)
2
κ
⋅
(
1
+
α
)
2
≥
(
1
+
2
κ
α
)
⋅
(
1
+
α
)
2
=
(
1
+
2
κ
α
)
⋅
(
1
+
2
α
+
α
2
)
=
1
+
(
2
κ
+
2
)
α
+
4
κ
α
2
+
(
1
+
2
κ
α
)
⋅
α
2
≥
1
+
(
2
κ
+
2
)
α
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+\alpha )^{2\kappa +2}&=(1+\alpha )^{2\kappa }\cdot (1+\alpha )^{2}\\&\geq (1+2\kappa \alpha )\cdot (1+\alpha )^{2}\\&=(1+2\kappa \alpha )\cdot (1+2\alpha +\alpha ^{2})\\&=1+(2\kappa +2)\alpha +4\kappa \alpha ^{2}+(1+2\kappa \alpha )\cdot \alpha ^{2}\\&\geq 1+(2\kappa +2)\alpha ,\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι
α
2
≥
0
{\displaystyle \alpha ^{2}\geq 0}
και ότι
1
+
2
κ
α
≥
0
{\displaystyle 1+2\kappa \alpha \geq 0}
.
Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για
ν
=
2
κ
+
2
{\displaystyle \nu =2\kappa +2}
, άρα και για όλους τους ζυγούς φυσικούς αριθμούς.
Η παρακάτω γενίκευση είναι για εκθέτες που δεν είναι κατά ανάγκη φυσικοί αριθμοί.
Απόδειξη
Θεωρούμε την συνάρτηση
f
(
α
)
=
(
1
+
α
)
r
−
(
1
+
r
α
)
,
{\displaystyle f(\alpha )=(1+\alpha )^{r}-(1+r\alpha ),}
η οποία έχει παράγωγο
f
′
(
α
)
=
r
⋅
(
(
1
+
α
)
r
−
1
−
1
)
.
{\displaystyle f'(\alpha )=r\cdot \left((1+\alpha )^{r-1}-1\right).}
Για την πρώτη ανισότητα, θεωρούμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
, τότε
(
1
+
α
)
r
−
1
≥
1
{\displaystyle (1+\alpha )^{r-1}\geq 1}
(καθώς
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
) και άρα
f
′
(
α
)
≥
0
{\displaystyle f'(\alpha )\geq 0}
. Συνεπώς, η
f
{\displaystyle f}
είναι αύξουσα στο διάστημα
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
και άρα
f
(
α
)
≥
f
(
0
)
{\displaystyle f(\alpha )\geq f(0)}
.
Αν
α
<
0
{\displaystyle \alpha <0}
, τότε
(
1
+
α
)
r
−
1
<
1
{\displaystyle (1+\alpha )^{r-1}<1}
. Συνεπώς, η
f
{\displaystyle f}
είναι φθίνουσα στο διάστημα
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
και άρα
f
(
α
)
≥
f
(
0
)
{\displaystyle f(\alpha )\geq f(0)}
.
Επομένως, και στις δύο περιπτώσεις
f
(
α
)
≥
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(\alpha )\geq f(0)=0}
, που συνεπάγεται ότι
(
1
+
α
)
r
≥
1
+
r
α
{\displaystyle (1+\alpha )^{r}\geq 1+r\alpha }
. Αντίστοιχα, για
r
≤
0
{\displaystyle r\leq 0}
.
Για τη δεύτερη ανισότητα, παρατηρήστε ότι για
r
=
1
{\displaystyle r=1}
η ανισότητα ισχύει ως ισότητα και για
α
=
−
1
{\displaystyle \alpha =-1}
ισχύει καθώς
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
. Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις:
Αν
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
, τότε
(
1
+
α
)
r
−
1
≤
1
{\displaystyle (1+\alpha )^{r-1}\leq 1}
(καθώς
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
και
α
≠
−
1
{\displaystyle \alpha \neq -1}
) και άρα
f
′
(
α
)
≤
0
{\displaystyle f'(\alpha )\leq 0}
. Συνεπώς, η
f
{\displaystyle f}
είναι φθίνουσα στο διάστημα
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
και άρα
f
(
α
)
≤
f
(
0
)
{\displaystyle f(\alpha )\leq f(0)}
.
Av
α
∈
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle \alpha \in (-1,0)}
, τότε
(
1
+
α
)
r
−
1
>
1
{\displaystyle (1+\alpha )^{r-1}>1}
και άρα
f
′
(
α
)
<
0
{\displaystyle f'(\alpha )<0}
. Συνεπώς, η
f
{\displaystyle f}
είναι αύξουσα στο διάστημα
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
και άρα
f
(
α
)
≤
f
(
0
)
{\displaystyle f(\alpha )\leq f(0)}
.
Επομένως, και στις δύο περιπτώσεις
f
(
α
)
≤
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(\alpha )\leq f(0)=0}
, που συνεπάγεται ότι
(
1
+
α
)
r
≤
1
+
r
α
{\displaystyle (1+\alpha )^{r}\leq 1+r\alpha }
.
Η παρακάτω επέκταση είναι για όταν οι
ν
{\displaystyle \nu }
όροι μπορεί να είναι διαφορετικοί. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με την ανισότητα Weierstrass .[5] [6]
Θεώρημα: [3] : 69 Έστω
ν
∈
N
{\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }
,
α
1
,
…
,
α
ν
∈
R
{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\nu }\in \mathbb {R} }
και
r
1
,
…
,
r
ν
∈
R
{\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{\nu }\in \mathbb {R} }
. Τότε,
∏
i
=
1
ν
(
1
+
α
i
)
r
i
≤
1
+
∑
i
=
1
ν
α
i
r
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}}
, όταν
α
i
>
−
1
{\displaystyle \alpha _{i}>-1}
και
r
i
≥
0
{\displaystyle r_{i}\geq 0}
για κάθε
1
≤
i
≤
ν
{\displaystyle 1\leq i\leq \nu }
,
∏
i
=
1
ν
(
1
+
α
i
)
r
i
≤
1
+
∑
i
=
1
ν
α
i
r
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}}
, όταν
α
i
>
0
{\displaystyle \alpha _{i}>0}
ή
α
i
∈
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle \alpha _{i}\in (-1,0)}
για κάθε
1
≤
i
≤
ν
{\displaystyle 1\leq i\leq \nu }
και
r
i
≤
0
{\displaystyle r_{i}\leq 0}
ή
r
i
≥
1
{\displaystyle r_{i}\geq 1}
για κάθε
1
≤
i
≤
ν
{\displaystyle 1\leq i\leq \nu }
.
↑ Κουρουνιώτης, Χ. «Εργαστήριο Ανάλυσης: Φυλλάδιο 2 Ανισότητα Bernoulli» (PDF) . Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 19 Ιουλίου 2022 .
↑ Αδαμόπουλος, Λεωνίδας· Βισκαδουράκης, Βασίλειος· Γαβαλάς, Δημήτριος· Πολύζος, Γεώργιος· Σβέρκος, Ανδρέας (1998). Μαθηματικά Β΄ Γενικού Λυκείου, Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών . Αθήνα: ΙΤΥΕ Διόφαντος. ISBN 9789600624236 .
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis . Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7 .
↑ Bullen, P. S. (2003). Handbook of Means and Their Inequalities . Dordrecht: Springer Netherlands. ISBN 978-94-017-0399-4 .
↑ Alzer, Horst (1990). «Inequalities for Weierstrass Products» . Portugaliae Mathematica 47 (1). https://purl.pt/3210/2/P2.html .
↑ Wu, Shanhe (2005). «Some results on extending and sharpening the Weierstrass product inequalities». Journal of Mathematical Analysis and Applications 308 (2): 689–702. doi :doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.11.064 .