Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος
Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος δίνει ένα κάτω φράγμα στην ένωση γεγονότων. Πιο συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε γεγονότα με , ισχύει ότι[1][2]
Στην εργασία των Τσουνγκ και Έρντος η ανισότητα εμφανίζεται με την ισοδύναμη μορφή,
Απόδειξη Επεξεργασία
Η απόδειξη στηρίζεται στην εξής ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής, όπου για κάθε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή ,
Θα χρησιμοποιήσουμε τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές για τα γεγονότα . Από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών έχουμε ότι
και
Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε ότι,
(
)
Επίσης, η πιθανότητα να γίνει οποιοδήποτε από τα γεγονότα είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα το άθροισμα των δεικτών να είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Επομένως,
(
)
Επομένως συνδυάζοντας τις (1) και (2) η αρχική ανισότητα γράφεται ως εξής
Θέτοντας , η ανισότητα παίρνει την μορφή
η οποία προκύπτει από αναδιάταξη της ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής.
Δείτε επίσης Επεξεργασία
Παραπομπές Επεξεργασία
- ↑ Chung, K. L.; Erdös, P. (1952). «On the application of the Borel-Cantelli lemma». Transactions of the American Mathematical Society 72 (1): 179–186. doi:. https://www.ams.org/journals/tran/1952-072-01/S0002-9947-1952-0045327-5/.
- ↑ Kounias, Stratis; Marin, Jacqueline (1976). «Best Linear Bonferroni Bounds». SIAM Journal on Applied Mathematics 30 (2): 307-323. https://www.jstor.org/stable/2100531.