Βάση αριθμητικού συστήματος

Στα αριθμητικά συστήματα, μια βάση (Αγγλικά radix ή base - συμβολίζεται ως $r$) είναι το πλήθος των μοναδικών ψηφίων (συμπεριλαμβανομένου και του 0) που αναπαριστώνται οι αριθμοί στο συγκεκριμένο αριθμητικό σύστημα. Για παράδειγμα στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (που χρησιμοποιούμε σήμερα) η βάση είναι το 10 που σημαίνει ότι έχουμε δέκα ψηφία (από το 0 έως και το 9).

Σε κάθε θεσιακό αριθμητικό σύστημα (με εξαίρεση το μοναδιαίο σύστημα με βάση το 1 όπου έχουμε ένα ψηφίο και ο κάθε αριθμός $n$ αναπαριστάται από n επαναλήψεις του μοναδικού ψηφίου) ο αριθμός $x$ και η βάση $r$ γράφονται στην μορφή $(x)_{r}$. Στην καθημερινότητα είναι καθιερωμένη η χρήση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και δεν γράφουμε την βάση. Για παράδειγμα ο $(100)_{10}$ (στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) αναπαριστά τον αριθμό εκατό ενώ ο αριθμός $(100)_{2}$ (στο δυαδικό σύστημα έχουμε βάση 2) αναπαριστά τον αριθμό τέσσερα. Γενικά ένας αριθμός σε ένα σύστημα με βάση $r$ ο οποίος έχει n ψηφία $a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m}$ με $0\leq a_{n}<r$ γράφεται ως :

$(a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m})_{r}=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{2}r^{2}+a_{1}r^{1}+a_{0}r^{0}+a_{-1}r^{-1}+a_{-2}r^{-2}+\ldots +a_{-m}r^{-m}$

Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός $(102,32)_{10}$ με βάση τον παραπάνω τύπο γράφεται:

$(102,32)_{10}=1\times 10^{2}+0\times 10^{1}+2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+2\times 10^{-2}$

Για παράδειγμα ο δυαδικός αριθμός $(1101.11)_{2}$ με βάση τον παραπάνω τύπο γράφεται:

$(1101,11)_{2}=1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}+1\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}$

Αριθμητικά συστήματα

Βάση / Radix	Όνομα	Περιγραφή
10	Δεκαδικό σύστημα	το πιο διάσημο σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιείται στην αριθμητική. Χρησιμοποιεί δέκα ψηφία: "0–9".
12	Δωδεκαδικό σύστημα	χρησιμοποιείται λόγω της δυνατότητα διαίρεσης με το 2, 3, 4 και 6. Παραδοσιακά είχε χρησιμοποιηθεί για να εκφράζονται μεγέθη σε ντουζίνες (δηλαδή δώδεκα ομοίων πραγμάτων).
2	Δυαδικό σύστημα	η βάση 2 χρησιμοποιείται στο εσωτερικών όλων των υπλογιστών. Τα ψηφία είναι το "0" και το "1", και αναπαραστούν διακόπτες κλειστούς (OFF) ή ανοικτούς (ON) αντίστοιχα.
16	Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης	χρησιμοποιείται συχνά στην πληροφορική. Ένας δυαδικός αριθμός μπορείς να ομαδοποιηθεί σε τετράδες bit, δηλαδή nibbles και στην συνέχεια να μετατραπεί με αντιστοίχιση στον αντίστοιχο δεκαεξαδικό. Ο δεκαεξαδικός αριθμός αποτελεί μια πιο "συνοπτική μορφή" του δυαδικού. Τα δεκαέξι ψηφία είναι τα "0–9" τα οποία ακολουθούν τα γράμματα "A–F" της αγγλικής αλφαβήτου..
8	Οκταδικό σύστημα αρίθμησης	χρησιμοποιείται επίσης συχνά στην πληροφορική. Ένα δυαδικός αριθμός μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε οκταδικό ομαδοποιώντας τα bit σε τριάδες και κάνοντας αντιστοίχηση. Τα οκτώ ψηφία είναι τα "0–7".
60	Εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης	προέρχεται από τους αρχαίους Σουμέριους και στην συνέχεια χρησιμοποιήθηκε και από τους Βαβυλώνιους . Σήμερα αποτελεί την βάση του συστήματος αρίθμησης που χρησιμοποιείται στα συστήματα αναπαράστασης συντεταγμένων (γωνίες, λεπτά και δευτερόλεπτα) και την αναπαράσταση χρόνου (ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα).
64	Βάση64	Χρησιμοποιείται στην πληροφορική και τα 64 ψηφία αποτελούν είναι τα σύμβολα "A–Z", "a–z", "0–9" καθώς και δύο χαρακτήρες, συχνά το "+" και "/".
85	PostScript Ascii85	Χρησιμοποιείται στην πληροφορική για να κωδικοποίηση σειρών bit με βάση την αριθμητική της βάσης 85.
256	byte	χρησιμοποιείται εσωτερικά από τους υπολογιστές, για να ομαδοποιούνται 8 bits μαζί. Για την ανάγνωση των ψηφίων από ανθρώπους η αναπαράσταση των ψηφίων παρουσιάζεται σε δεκαεξαδική μορφή.

Οι βάσεις συνήθως είναι φυσικοί αριθμοί. Υπάρχουν όμως και συστήματα με βάση μη ακέραιο αριθμό, όπως για παράδειγμα η βάση της χρυσής τομής ή ακόμη συστήματα με βάση αρνητικό αριθμό .

Δείτε επίσης

• Πανψηφιακός αριθμός