Άνοιγμα κυρίου μενού

Ένας ακέραιος αριθμός ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον δίνει αποτέλεσμα , δηλαδή . Συμβολίζεται και διαβάζεται: ο διαιρεί τον . Άλλες εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι: ο διαιρείται ακριβώς με τον , ή ότι το είναι πολλαπλάσιο του .[1][2]

Για παράδειγμα λέγεται: ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3) ή ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2 ή ο 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο ακέραιος 3 έτσι ώστε: 6 = 3 Χ 2. Ακόμη και ο -2 διαιρεί τον 6, διότι υπάρχει ο ακέραιος -3 έτσι ώστε 6 = (-3) Χ (-2).

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Πίνακας περιεχομένων

ΟρισμόςΕπεξεργασία

Για τον ορισμό του διαιρέτη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού ή την πράξη της διαίρεσης. Ο δεύτερος ορισμός πρέπει να αποφεύγεται γιατί δημιουργεί ασάφειες σε θέματα που αφορούν το 0 και αυτό γιατί δεν μπορεί να υπάρξει διαίρεση με 0. Η διαιρετότητα είναι μια σχέση μεταξύ των ακεραίων και όχι μια πράξη. Είναι μια σχέση όπως η ανισότητα, όπου λέμε   (διότι από τον ορισμό της ανισότητας  ), αλλά δεν «ταυτίζεται» με το αποτέλεσμα της πράξης της αφαίρεσης, που είναι ο αριθμός  .[3][4][5]

Ορισμός με την πράξη του πολλαπλασιασμούΕπεξεργασία

Ένας ακέραιος αριθμός   ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού  , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός  , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον   δίνει αποτέλεσμα  , δηλαδή  , όπου ( ) το σύμβολο της πράξης του πολλαπλασιασμού.[Σημ 1] Συμβολίζεται  , δηλαδή με μια κάθετο ανάμεσα στο   και το  , [1][2][6][7]

Το σύμβολο της διαιρετότητας   δεν πρέπει να συγχέεται με το σύμβολο της διαίρεσης (  ή  ).[8]

Στην περίπτωση που ο   δεν είναι διαιρέτης του   συμβολίζεται   και διαβάζεται: ο   δεν διαιρεί τον  .[1]

Διατύπωση του ορισμού με μαθηματική σημειογραφία:  ,      [9] και  ,      [Σημ 2]

Ο  , γενικά στην πράξη της διαίρεσης λέγεται πηλίκο. Στην περίπτωση που  , το   λέγεται και παράγοντας του  .[1][2]

Ορισμός με την πράξη της διαίρεσηςΕπεξεργασία

Ένας άλλος ορισμός είναι με την χρήση της διαίρεσης: «Ένας ακέραιος αριθμός   ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού  , αν και μόνο αν η διαίρεση   είναι τέλεια. Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ακέραιος ( )», θέτοντας έτσι τον σημαντικό περιορισμό του  .[10][11][12]

Ο ορισμός αυτός μας οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με τον προηγούμενο απορρίπτοντας όμως την ιδιότητα: «αν  , τότε  », που λέει ότι το 0 είναι διαιρέτης του εαυτού του και αυτό διότι η διαίρεση   δεν ορίζεται.[12]

Στην βιβλιογραφία συναντάμε ορισμό της διαιρετότητας με την πράξη της διαίρεσης και επιπλέον μπορεί να δέχεται ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του μηδενός («  για κάθε   »), θέση που είναι λάθος.[13]

ΓενικάΕπεξεργασία

  • Συνήθως αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου αριθμού, ενώ στην πραγματικότητα διαιρέτες είναι και οι αντίστοιχοι αρνητικοί.[14] Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 4 δεν είναι μόνο οι 1, 2, και 4, αλλά και οι -1, -2 και -4. Δηλαδή το 4 έχει 6 διαιρέτες.[1][15] Επειδή ότι ισχύει για τους θετικούς διαιρέτες ισχύει και για τους αρνητικούς, συνήθως για λόγους απλοποίησης αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς.[16][17]
  • Ένας ακέραιος και ο αντίθετος του έχουν τους ίδιους διαιρέτες. Για παράδειγμα αντίθετος του 4, δηλαδή ο -4 έχει τους ίδιους διαιρέτες με τον 4.
  • Οι ακέραιοι που διαιρούνται με το 2 ονομάζονται άρτιοι ή ζυγοί, ενώ αυτοί που δεν διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί ή μονοί. Επειδή κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του 0 (μηδέν),[18] το 0 διαιρείται με το 2, οπότε το 0 συγκαταλέγεται στους άρτιους αριθμούς.
  • Κάθε ακέραιος   διαιρείται με τον εαυτό του, με τον αντίθετό του ( ) , το 1 και το -1. Αυτοί οι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται τετριμμένοι διαιρέτες. Δηλαδή, οι τετριμμένοι διαιρέτες του ακεραίου   είναι οι  και  .[1][2]
  • Οι μή τεριμμένοι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται παράγοντες του ακεραίου.[1][2]
  • Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

ΙδιότητεςΕπεξεργασία

Λόγω του ορισμού για   ισχύουν τα ακόλουθα:

  •   για κάθε   (διότι:  ).[9][10][18] Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το 0 είναι άρτιος, διότι   και άρα  .
  • Αν  , τότε  .[9] Είναι μια «ξεχωριστή» ιδιότητα που μας λέει ότι  (το μηδέν είναι διαιρέτης του μηδέν). Δεν ισχύει αν στον ορισμό του διαιρέτη κάνουμε χρήση της έννοιας της διαίρεσης (βλ. ορισμός με την πράξη της διαίρεσης, παραπάνω).[19] Άλλο   και άλλο το μη οριζόμενο[20]  .[12]
  •  [9]
  •  ,  ,   και   για κάθε α (τετριμμένοι διαιρέτες).[9][10]
  • Αν  , τότε   για κάθε c.[9][10]

Για   εύκολα αποδεικνύονται τα ακόλουθα:

  • Αν   και  , τότε   ή  (δηλαδή  .[21][22][9]
  • Αν   και  , τότε  [9]
  • Αν   τότε  [9] (βλ. θεώρημα 1 παρακάτω)
  • Αν   και  , τότε  .[9] Γενικότερα   για κάθε   (βλ. θεώρημα 3 παρακάτω). Ο   λέγεται κοινός διαιρέτης των   και  .[21][22] Ο ακέραιος  , λέγεται  -γραμμικός συνδυασμός (linear combination) των   και  .[23][24]
Ειδική περίπτωση της προηγούμενης ιδιότητας είναι ότι: αν   και  , τότε  .[25]
  • Αν   και  , τότε   (μεταβατικότητα)[9][10] (βλ. θεώρημα 2 παρακάτω)
  • Αν   και  , τότε  [9][21]
  • Αν  και   τότε  [1]

ΠαραδείγματαΕπεξεργασία

Στο παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τον θετικό ακέραιο 42 επειδή είναι εύκολος στους υπολογισμούς.

  • 7 είναι διαιρέτης του 42 γιατί υπάρχει ο ακέραιος 6 έτσι ώστε  και γράφεται συμβολικά:  . Μπορεί να λεχθεί ότι ο 42 διαιρείται ακριβώς ή απλά διαιρείται με τον 7, ή ότι ο 42 είναι πολλαπλάσιος του 7, ή ότι ο 7 διαιρεί τον 42.
  • Οι διαιρέτες του 42 είναι οι 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7, -21 και -42. Οι ίδιοι ακέραιοι είναι και διαιρέτες του -42.
  • Οι τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 42, -42, 1 και -1.
  • Οι μη τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7 και -21.
  • Επειδή ο 7 δεν είναι τετριμμένος διαιρέτης του 42, ο 7 είναι παράγοντας του 42.

ΘεωρήματαΕπεξεργασία

Εύκολα αποδεικνύονται τα θεωρήματα:

  • Θεώρημα 1: «Ο διαιρέτης ενός ακεραίου είναι και διαιρέτης κάθε πολλαπλασίου του». Δηλαδή, αν   και      ,  .
Απόδειξη:              .[26]
  • Θεώρημα 2: «Μεταβατικότητα». Δηλαδή, αν   όταν   και      .
Απόδειξη:   και                 .[27]
  • Θεώρημα 3: «Ο κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων είναι και διαιρέτης κάθε  -γραμμικού συνδυασμού τους». Δηλαδή, αν   και      ,  .
Απόδειξη:  ,         ,      .[23]


Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

ΣημειώσειςΕπεξεργασία

  1. Αντί του συμβόλου ( ) για την πράξη του πολλαπλασιασμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί το ( ), δηλαδή  . Αν δεν χρησιμοποιηθεί κανένα από τα δύο εννοείται πολλαπλασιασμός. Δηλαδή το   μπορεί να γραφτεί και  .
  2. Υπενθύμιση συμβόλων. " ": είναι στοιχείο του ... , " ": σύνολο των ακεραίων, " ": αν και μόνο αν, " ": υπάρχει (τουλάχιστον ένα), " ":δεν υπάρχει, " : ": τέτοιο ώστε.

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 1
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, βλ. πηγές, σελ. 2
  3. «Such an error would be similar to the mistake of confusing the relation 5 < 9 with the number 9 - 5.». Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
  4. (Αγγλικά) George C. «What are the divisors of 0?» από socratic.org. Δημοσιεύθηκε 11/03/2018. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  5. Κάποιες γνώμες επί του θέματος. «Why would some elementary number theory notes exclude 0|0?» από math.stackexchange.com. Αρχειοθετήθηκε 14/09/2015. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  6. Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 3
  7. Definition 2.1. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
  8. «Yes, students frequently confuse   with  , but it's the teacher's job avoiding this confusion: using also   can help.». χρήστης: egreg. Why would some elementary number theory notes exclude 0|0? από math.stackexchange.com. Αρχειοθετήθηκε 14/09/2015. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  9. 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 9,11 Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 Ψωμόπουλος Ευάγγελος (ΑΠΘ) «Διαιρετότητα» από Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Διαιρετότητα Ακεραίων. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 27/01/2019.
  11. Yan, Song Y. (2013-03-09) (στα αγγλικά). Number Theory for Computing. Definition 1.2.1.. Springer Science & Business Media, σελ. 20. ISBN 9783662040539. https://books.google.gr/books?id=X8aqCAAAQBAJ&pg=PA20#v=onepage&q&f=false. Ανακτήθηκε στις 2019-01-28. 
  12. 12,0 12,1 12,2 Remark 2.3. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
  13. (Αγγλικά) «A divisor of an integer n, also called a factor of n, is an integer which evenly divides n without leaving a remainder.» και λίγο παρακάτω αναφέρει: « ... every integer is a divisor of 0.». Yucheng Ji, GCD LCM Number Theory σελ. 1 από UofC. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  14. «Επομένως οι διαιρέτες ενός ακεραίου εμφανίζονται κατά ζεύγη αντίθετων ακεραίων.». Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6
  15. (Αγγλικά) Weisstein, Eric W. "Divisor." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Divisor.html. Αρχειοθετήθηκε 21/11/2018. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
  16. «Αν ο ακέραιος d διαιρεί τον a, τότε και ο ακέραιος -d θα διαιρεί τον a. Έτσι, στο εξής θα μιλάμε για θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου, εφόσον ό,τι αναφέρουμε για τους θετικούς θα ισχύει και για τους αρνητικούς διαιρέτες.». Ψωμόπουλος Ευάγγελος (ΑΠΘ) «ΜΚΔ και ΕΚΠ» από Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Διαιρετότητα Ακεραίων. Αρχειοθετήθηκε 15/09/2015. Ανακτήθηκε 27/01/2019.
  17. « ... είναι αρκετό να περιοριστούμε στο σύνολο των θετικών ακεραίων.». Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6
  18. 18,0 18,1 «Κάθε ακέραιος διαιρεί το 0.». Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 1
  19. (Αγγλικά) «It turns out that zero can’t be divided evenly by zero.». What is 0 divided by 0? – zero divided by zero από simplyphilosophy.org. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  20. (Αγγλικά) Weisstein, Eric W. "Division by Zero." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html. Αρχειοθετήθηκε 23/10/2018. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  21. 21,0 21,1 21,2 Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, βλ. πηγές, σελ. 4
  22. 22,0 22,1 Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 6
  23. 23,0 23,1 Therorem 2.6. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 2
  24. Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 7
  25. Ξενάκης Χρήστος (Πανεπ. Πειραιά 2012). «Κρυπτογραφία > Μαθηματικά > Θεωρία αριθμών–Αλγεβρικές δομές», σελ. 9, από evdoxos.ds.unipi.gr. Δημοσιεύθηκε 22/12/2012. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
  26. Therorem 2.4. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
  27. Therorem 2.5. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1

ΠηγέςΕπεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοιΕπεξεργασία