Δυνατότητα προσανατολισμού (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, η δυνατότητα προσανατολισμού^[1] είναι μια ιδιότητα των επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο, που μετρά το αν είναι δυνατόν να γίνει μια επιλογή του κάθετου διανύσματος επιφάνειας σε κάθε σημείο. Μια επιλογή κάθετου διανύσματος, επιτρέπει σε κάποιον να χρησιμοποιήσει τον κανόνα του δεξιού χεριού για να ορίσει μια «δεξιόστροφη» φορά βρόχων στην επιφάνεια, όπως απαιτείται για παράδειγμα από το θεώρημα του Στόουκς. Γενικότερα, η δυνατότητα προσανατολισμού μιας αφηρημένης επιφάνειας, ή πολλαπλότητας, μετρά το κατά πόσο μπορεί κανείς να επιλέξει με συνέπεια ένα «δεξιόστροφο» προσανατολισμό για όλους τους βρόχους στην πολλαπλότητα. Αντιστοίχως, μια επιφάνεια είναι προσανατολιζόμενη εάν ένα δισδιάστατο σχήμα όπως αυτό , είναι αδύνατο να μετακινηθεί (συνεχώς) στον χώρο και να επιστρέψει στο σημείο που ξεκίνησε έτσι ώστε να μοιάζει με τη κατοπτρική του εικόνα .

Ένας τόρος είναι μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια

Μπορούν να δοθούν διάφορες ισοδύναμες διατυπώσεις της προσανατολισιμότητας, ανάλογα με την επιθυμητή εφαρμογή και το επίπεδο γενικότητας. Οι διατυπώσεις που εφαρμόζονται σε γενικές τοπολογικές πολλαπλότητες συχνά χρησιμοποιούν μεθόδους της θεωρίας της ομολογίας, ενώ για τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες υπάρχει μεγαλύτερη δομή, που επιτρέπει τη διατύπωση σε όρους διαφορικών μορφών. Μια γενίκευση της έννοιας της προσανατολισιμότητας ενός χώρου είναι αυτή της προσανατολισιμότητας μιας οικογένειας χώρων που παραμετροποιούνται από κάποιον άλλο χώρο (δέσμη ινών) για την οποία πρέπει να επιλεγεί ένας προσανατολισμός σε καθένα από τους χώρους που μεταβάλλεται συνεχώς σε σχέση με τις αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων.

Επιφάνειες με προσανατολισμό

Μια επιφάνεια S στον Ευκλείδειο χώρο R'³ είναι προσανατολιστική αν ένα χειρόμορφο δισδιάστατο σχήμα (για παράδειγμα, ) δεν μπορεί να μετακινηθεί γύρω από την επιφάνεια και να επιστρέψει στο σημείο από όπου ξεκίνησε, ώστε να μοιάζει με το ίδιο του το είδωλο ( ). Διαφορετικά, η επιφάνεια είναι μη προσανατολισμένη. Μια αφηρημένη επιφάνεια (δηλ. μια δισδιάστατη πολλαπλότητα) είναι προσανατολίσιμη εάν μια συνεπής έννοια της δεξιόστροφης περιστροφής μπορεί να οριστεί στην επιφάνεια με συνεχή τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι ένας βρόχος που περιστρέφεται με έναν τρόπο στην επιφάνεια δεν μπορεί ποτέ να παραμορφωθεί συνεχώς (χωρίς να επικαλύπτεται) σε έναν βρόχο που περιστρέφεται με την αντίστροφη κατεύθυνση. Αυτό αποδεικνύεται ισοδύναμο με το ερώτημα αν η επιφάνεια δεν περιέχει κανένα υποσύνολο που να είναι ομοιόμορφο με τη λωρίδα του Μάμπιους. Έτσι, για τις επιφάνειες, η λωρίδα Μάμπιους μπορεί να θεωρηθεί η πηγή κάθε μη προσανατολισμού.

Για μια προσανατολίσιμη επιφάνεια, μια συνεπής επιλογή της "δεξιόστροφης" (σε αντίθεση με την αριστερόστροφη) ονομάζεται προσανατολισμός, και η επιφάνεια ονομάζεται προσανατολισμένη. Για επιφάνειες ενσωματωμένες στον Ευκλείδειο χώρο, ένας προσανατολισμός καθορίζεται από την επιλογή μιας συνεχώς μεταβαλλόμενης επιφανειακής κανονικής n' σε κάθε σημείο. Εάν υπάρχει μια τέτοια κανονική, τότε υπάρχουν πάντα δύο τρόποι για την επιλογή της: n ή −n. Γενικότερα, μια προσανατολισμένη επιφάνεια δέχεται ακριβώς δύο προσανατολισμούς, και η διάκριση μεταξύ μιας προσανατολισμένης (oriented) επιφάνειας και μιας προσανατολίσιμη (orientable) επιφάνεια είναι λεπτή και συχνά θολή. Μια προσανατολίσιμη επιφάνεια είναι μια αφηρημένη επιφάνεια που δέχεται έναν προσανατολισμό, ενώ μια προσανατολισμένη επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που είναι αφηρημένα προσανατολίσιμη και έχει το πρόσθετο δεδομένο της επιλογής ενός από τους δύο δυνατούς προσανατολισμούς.

Παραπομπές

↑ Hazewinkel, M. (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Monge—Ampère Equation — Rings and Algebras. Springer. ISBN 978-1-4899-3791-9.

[1] Hazewinkel, M. (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Monge—Ampère Equation — Rings and Algebras. Springer. ISBN 978-1-4899-3791-9.

[1]