Θεώρημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Διόρθωση εσωτερικού συνδέσμου. |
Συνέχιση μετάφρασης |
||
Γραμμή 12:
Λόγω του ότι τα θεωρήματα βρίσκονται στον πυρήνα των μαθηματικών, είναι επίσης κεντρικά και στην αισθητική τους. Θεωρήματα συχνά περιγράφονται ως ''προφανή'', ή ''δύσκολα'' ή ''βαθιά'', ή ακόμα και ''όμορφα''. Οι υποκειμενικές αυτές κρίσεις ποικίλουν όχι μόνο από άτομο σε άτομο, αλλά επίσης και με το χρόνο. Για παράδειγμα, καθώς μια απόδειξη απλοποιείται ή κατανοείται καλύτερα, ένα θεώρημα που ήταν κάποτε δύσκολο μπορεί να γίνει προφανές. Από την άλλη, ένα βαθύ θεώρημα μπορεί να τεθεί με απλό τρόπο, αλλά η απόδειξή του μπορεί να εμπεριέχει εκπληκτικές και ευφυείς συνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων περιοχών των μαθηματικών. Το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]] είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα ενός τέτοιου θεωρήματος.
==Τυπικές και άτυπες έννοιες==
Στη [[λογική]], τα περισσότερα θεωρήματα έχουν τη μορφή [[υποθετικός προσδιορισμός|υποθετικών προσδιορισμών]]: ''αν Α, τότε Β''. Ένα τέτοιο θεώρημα δεν ισχυρίζεται ότι το ''Β'' είναι πάντα αληθές, παρά μόνο ότι το ''Β'' θα πρέπει να ισχύει αν και το ''Α'' είναι αληθές. Σ' αυτή την περίπτωση το ''Α'' λέγεται η '''[[υπόθεση]]''' του θεωρήματος (εδώ η ''υπόθεση'' είναι τελείως διαφορετική από μια [[εικασία]]) και ''Β'' το '''συμπέρασμα'''. Το θεώρημα «Αν ''n'' είναι άρτιος [[φυσικός αριθμός]], τότε ο ''n/2'' είναι φυσικός αριθμός» είναι ένα τυπικό παράδειγμα, στο οποίο η υπόθεση είναι ότι το ''n'' είναι άρτιος φυσικός αριθμός, και το συμπέρασμα είναι ότι το ''n/2'' είναι επίσης φυσικός αριθμός.
Για να είναι δυνατό να αποδειχθεί, ένα θεώρημα θα πρέπει να είναι δυνατό να εκφραστεί ως μια ακριβής, τυπική πρόταση. Παρ' όλα αυτά, τα θεωρήματα εκφράζονται συνήθως σε φυσική γλώσσα αντί σε κάποια τελείως συμβολική μορφή, με την πρόθεση ότι ο αναγνώστης μπορεί να παράγει την τυπική διατύπωση από την άτυπη. Επιπλέον, υπάρχουν συχνά υποθέσεις που κατανοούνται από τα συμφραζόμενα, χωρίς να διατυπώνονται ρητά.
[[Image:4CT Non-Counterexample 1.svg|frame|right|Επίπεδος χάρτης με πέντε χρώματα έτσι ώστε ποτέ δύο περιοχές με το ίδιο χρώμα δεν συνορεύουν. Είναι δυνατό να χρωματιστεί αντίστοιχα με μόνο τέσσερα χρώματα. Το [[θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων]] διατυπώνει ότι τέτοια χρωματίσματα είναι δυνατά για κάθε επίπεδο χάρτη, αλλά κάθε γνωστή απόδειξη περιλαμβάνει υπολογιστική αναζήτηση που είναι υπερβολικά χρονοβόρα να ελεγχθεί με το χέρι.]]
Συχνά στα μαθηματικά επιλέγεται ένας αριθμός υποθέσεων που θεωρούνται αληθείς σε μια δεδομένη θεωρία, και στη συνέχεια λέγεται ότι η θεωρία αποτελείται από όλα τα θεωρήματα που αποδεικνύονται με αυτές τις υποθέσεις. Στην περίπτωση αυτή οι υποθέσεις που απαρτίζουν τη θεμελιακή αυτή βάση, λέγονται [[αξίωμα|αξιώματα]] (ή αιτήματα) της θεωρίας. Το γνωστικό πεδίο των μαθηματικών που μελετά τα τυπικά αξιωματικά συστήματα και τις αποδείξεις που μπορούν να γίνουν εντός τους, λέγεται [[θεωρία αποδείξεων]].
Ορισμένα θεωρήματα είναι ''προφανή,'' με την έννοια ότι έπονται απο ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς. Κάποια άλλα λέγονται ''βαθειά'': οι αποδείξεις τους μπορεί να είναι εκτεταμένες και δύσκολες, να χρησιμοποιούν περιοχές των μαθηματικών που θεωρούνται μακρινές από τη διατύπωση του θεωρήματος, ή να καταδεικνύουν εκπληκτικές διασυνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών.<ref>Βλ. [http://mathworld.wolfram.com/DeepTheorem.html Deep Theorem].</ref> Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά να έχει βαθιά απόδειξη. Κλασσικό παράδειγμα είναι το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]], και υπάρχει πλήθος άλλων παραδειγμάτων από απλά, αλλά δύσκολα θεωρήματα στη [[θεωρία αριθμών]] και τη [[συνδυαστική]], ανάμεσα σε άλλες περιοχές.
Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το [[θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων]] και η [[εικασία του Κέπλερ]]. Και τα δύο γνωρίζουμε ότι ισχύουν, ανάγοντάς τα σε υπολογιστική αναζήτηση, που στη συνέχεια επαληθεύεται με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή. Αρχικά, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδεχόντουσαν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά τα τελευταία χρόνια έχει γίνει περισσότερο αποδεκτή. Ο μαθηματικός [[Ντόρον Ζάιλμπέργκερ]] έχει φτάσει να ισχυριστεί ότι αυτά είναι πιθανώς τα μόνα μη προφανή αποτελέσματα που έχουν ποτέ αποδειχθεί από μαθηματικούς.<ref>[http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html]</ref> Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε σαφείς υπολογισμούς, όπως οι πολυωνυμικές ταυτότητες, οι τριγωνομετρικές ταυτότητες, και οι υπεργεωμετρικές ταυτότητες<ref> Petkovsek et al. 1996.</ref>
| |||