Η '''Λαγκρανζιανή Μηχανικήμηχανική''' αποτελεί έναν από τους δύο θεμελιώδεις φορμαλισμούς της [[Αναλυτική δυναμική|Αναλυτικής δυναμικής]] μαζί με την '''[[Χαμιλτόνια Μηχανικήμηχανική]]'''. Η διατύπωση της έγινε από τον Γάλλο Μαθηματικό [[Ζοζέφ ΛαγράνζΛαγκράνζ]] (''Joseph Louis Lagrange'') την περίοδο 1783 - 88, και αναπόσπαστο κομμάτι της είναι η κατανόηση της [[αρχή ακροτάτου|αρχής ακροτάτου]] που διέπει την εξέλιξη ενός [[μηχανικό αύστημασύστημα|μηχανικού συστήματος]], που μπορεί να έχει πεπερασμένους ή άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Σε αντίθεση με τη [[διανυσματική Μηχανικήμηχανική]] που θεμελιώθηκε από το [[Ισαάκ Νεύτων|Νεύτωνα]] (''Sir Isaac Newton'') και διατυπώθηκε σε διανυσματική γλώσσα από τον [[Τζοσάια Γκιμπς|Γκιμπς]] (''Josiah Willard Gibbs''), γεωμετρική και μηχανική εποπτεία απαιτείται μόνο για την εύρεση και ορθή διατύπωση των βαθμών ελευθερίας του συστήματος, ενώ στη συνέχεια η εργασία είναι σε ένα πρώτο επίπεδο κατ' εξοχήν αναλυτική. Μάλιστα ο ίδιος ο Λαγκράνζ στο έργο του ''Traité de Μécanique Αnalytique'' αναφέρει ότι:
''Δε θα βρει κάποιος σχήματα σε αυτό το έργο. Οι μέθοδοι που αναπτύσσω δεν απαιτούν καμία κατασκευή, γεωμετρική ή μηχανική, παρά μόνον αλγεβρικές πράξεις που υπόκεινται σε μία ομαλή και ομοιόμορφη τέλεση.''
Βεβαίως όλα αυτά σε ένα πρώτο επίπεδο, καθώς ακόμη δεν είχε γίνειδημιουργηθεί ο [[λογισμός μεταβολών|λογισμόλογισμός των μεταβολών]]. ΑυτήΑυτό το πεδίο των μαθηματικών με τη σειρά τηςτου αποκρυσταλλώθηκε μισό αιώνα αργότερα (1832) με τα άρθρα "Theory of Systems of Rays" και "On a General Method in Dynamics") στην εργασία του [[Σερ Ουίλιαμ Ράουαν Χάμιλτον|Ουίλιαμ Χάμιλτον]] Sir William Rowan Hamilton κατά την εργασία του στη γεωμετρική οπτική που γέννησε τη Χαμιλτόνια Μηχανική.
Σε αυτή την περίπτωση οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος είναι <math>3n-1</math>, καθώς το σημείο 1 κινείται επί μίας διδιάστατης επιφάνειας. Έχουμε δεσμεύσει έναν εκ των αρχικών μεταβλητών. Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται '''σύνδεσμος''' ή '''δεσμός''' του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται (ίσως και υπερορισμένα) από το διάνυσμα <math>x=(x_{i})_{i=1}^{n}\in\mathbb{R}^{m}</math>. Οι σύνδεσμοι διακρίνονται στους εξής:
