Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

== Πρώτο θεώρημα μη-πληρότητας ==

: ''Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και [[συνεπής θεωρία|συνεπής]] και [[Πλήρης θεωρία|πλήρης]]. Συγκεκριμένα, για κάθε [[Απόδειξη συνέπειας|συνεπή]], αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική [[θεωρία (μαθηματική λογική)|θεωρία]] που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής,<ref>Η λέξη "αληθής" χρησιμοποιείται [[ντισκουοτενσιονιστικά]] εδώ: η πρόταση Γκέντελ είναι αληθής υπό αυτήν την έννοια επειδή "ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί και όντως δεν μπορεί" (Smoryński 1977 p. 825. Δείτε επίσης: Franzén 2005 pp. 28–33).<!-- It is also possible to read "''G''_''T'' is true" in the formal sense that [[primitive recursive arithmetic]] proves the implication Con(''T'')→''G''_''T'', where Con(''T'') is a canonical sentence asserting the consistency of ''T'' (Smoryński 1977 p. 840, Kikuchi and Tanaka 1994 p. 403) </ref> αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p.&nbsp;250). -->