Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Εξίσωση Σρέντινγκερ»

Καμία αλλαγή στο μέγεθος ,  πριν από 9 έτη
μ
 
:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)\xrightarrow{V(x)=0}-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=E\psi\Leftrightarrow \psi''+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi=0</math>
[[Αρχείο:Infinite well energies.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι ενέργειες των κυματοσυναρτήσεων n=1,2,3,4,5. Παρατηρείστε ότι ΔΕΝ ισαπέχουν.]]
 
Αν κάνουμε την αντικατάσταση k<sup>2</sup>=2mE/ħ<sup>2</sup>, καταλήγουμε στην εξής διαφορική εξίσωση:
 
 
όπου '''Α''' και '''Β''' δύο μιγαδικές σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες και τις φυσικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ώστε να περιγράφει ένα πραγματικό σωματίδιο. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος ταυτίζονται, φυσικά, με την απαίτηση η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου στα σημεία x=0 και x=L να ισούται με '''μηδέν'''. Αυτό αντιστοιχεί σε μηδενική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στα δυο αυτά σημεία, κάτι που μας το εξασφαλίζει η μορφή του δυναμικού που υποθέσαμε αρχικά.
[[Αρχείο:Infinite well.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι κυματοσυναρτήσεις n=1,2,3,4.]]
 
[[Αρχείο:Time depended wave function.ogg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Η χρονικά εξαρτημένη κυματοσυνάρτηση για n=3. Παρατηρείστε ότι είναι όπως ακριβώς η στατική, αλλά απλά περιστρέφεται.]]
Σύμφωνα με τα προηγούμενα λοιπόν, θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε να ικανοποιεί τις εξής μαθηματικές συνθήκες:
 
 
:<math>\psi(x=0)=0\Leftrightarrow B=0</math>
 
[[Αρχείο:Infinite well energies.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι ενέργειες των κυματοσυναρτήσεων n=1,2,3,4,5. Παρατηρείστε ότι ΔΕΝ ισαπέχουν.]]
Ενώ αντίστοιχα η δεύτερη:
 
:<math>k^2=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\xrightarrow{k^2=2mE/\hbar^2}E_n=\left(\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\right)n^2, \ \ n=1,2,3,...</math>
 
 
[[Αρχείο:Infinite well.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι κυματοσυναρτήσεις n=1,2,3,4.]]
[[Αρχείο:Time depended wave function.ogg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Η χρονικά εξαρτημένη κυματοσυνάρτηση για n=3. Παρατηρείστε ότι είναι όπως ακριβώς η στατική, αλλά απλά περιστρέφεται.]]
Αυτή η σχέση, μας λέει προφανώς ότι, οι διαθέσιμες τιμές της ενέργειας του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι είναι διακριτές ή διαφορετικά ''κβαντισμένες''. Και αυτό διότι ο κβαντικός αριθμός, n, που χαρακτηρίζει το πρόβλημα (και που προέκυψε φυσιολογικά όταν απαιτήσαμε η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στα άκρα) μπορεί να πάρει μόνο ''διακριτές'' τιμές. Το φαινόμενο της κβάντωσης των ενεργειακών σταθμών εμφανίζεται συνεχώς στη Κβαντομηχανική ως ένα αυθόρμητο αποτέλεσμα της μορφή της εξίσωσης Σρέντινγκερ που ισχύει αξιωματικά και των συνοριακών συνθηκών που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα.
 
1.898

επεξεργασίες