Εξίσωση Σρέντινγκερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)\xrightarrow{V(x)=0}-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=E\psi\Leftrightarrow \psi''+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi=0</math>

Αν κάνουμε την αντικατάσταση k²=2mE/ħ², καταλήγουμε στην εξής διαφορική εξίσωση:

 

 

όπου '''Α''' και '''Β''' δύο μιγαδικές σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες και τις φυσικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ώστε να περιγράφει ένα πραγματικό σωματίδιο. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος ταυτίζονται, φυσικά, με την απαίτηση η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου στα σημεία x=0 και x=L να ισούται με '''μηδέν'''. Αυτό αντιστοιχεί σε μηδενική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στα δυο αυτά σημεία, κάτι που μας το εξασφαλίζει η μορφή του δυναμικού που υποθέσαμε αρχικά.

Σύμφωνα με τα προηγούμενα λοιπόν, θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε να ικανοποιεί τις εξής μαθηματικές συνθήκες:

 

 

:<math>\psi(x=0)=0\Leftrightarrow B=0</math>

Ενώ αντίστοιχα η δεύτερη:

 

:<math>k^2=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\xrightarrow{k^2=2mE/\hbar^2}E_n=\left(\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\right)n^2, \ \ n=1,2,3,...</math>

 

Αυτή η σχέση, μας λέει προφανώς ότι, οι διαθέσιμες τιμές της ενέργειας του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι είναι διακριτές ή διαφορετικά ''κβαντισμένες''. Και αυτό διότι ο κβαντικός αριθμός, n, που χαρακτηρίζει το πρόβλημα (και που προέκυψε φυσιολογικά όταν απαιτήσαμε η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στα άκρα) μπορεί να πάρει μόνο ''διακριτές'' τιμές. Το φαινόμενο της κβάντωσης των ενεργειακών σταθμών εμφανίζεται συνεχώς στη Κβαντομηχανική ως ένα αυθόρμητο αποτέλεσμα της μορφή της εξίσωσης Σρέντινγκερ που ισχύει αξιωματικά και των συνοριακών συνθηκών που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα.