Εξίσωση Σρέντινγκερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Exc (συζήτηση | συνεισφορές) |
Μικρές διορθώσεις και αλλαγές. Αφαίρεση της θεματικής ενότητας που αφορά το Απειρόβαθο Πηγάδι και δημιουργία ξεχωριστού άρθρου. |
||
Γραμμή 1:
{{Κβαντική μηχανική}}
H '''εξίσωση Σρέντινγκερ ({{de}}Schrödinger)''' είναι μία [[διαφορική εξίσωση]] η οποία προτάθηκε από τον [[Αυστρία|Αυστριακό]] φυσικό [[Έρβιν Σρέντινγκερ]] το 1925, για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση [[κβαντομηχανικό σύστημα|κβαντομηχανικών συστημάτων]]. Παίζει κεντρικό ρόλο στην [[κβαντομηχανική]] θεωρία, με σημασία ανάλογη του [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|δεύτερου νόμου του Νεύτωνα]] στην [[κλασσική μηχανική]].
== Η εξίσωση ==
=== Αξιωματική Προσέγγιση === Η [[εξίσωση]] που επινόησε ο Σρέντινγκερ είναι η εξής:
:<math>\hat{H}\Psi(\bold{r},t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t), </math>
όπου '''H''' είναι ο τελεστής της [[Χαμιλτονιανή μηχανική|Χαμιλτονιανής (Hamiltonian)]] του [[Σύστημα|συστήματος]] που εξετάζουμε, '''i''' η [[Φανταστικός αριθμός|φανταστική μονάδα]], '''t''' ο [[χρόνος]], '''r''' η θέση στο [[χώρος|χώρο]] και '''ħ''' η σταθερά [[Δράση (φυσική)|δράσεως]] του [[Μαξ Πλανκ|Planck]].
Για ένα μη σχετικιστικό σωμάτιο που κινείται υπό την επίδραση χρονοανεξάρτητου [[Δυναμικό ενέργειας|δυναμικού]] V('''r'''), η Χαμιλτονιανή του είναι:
Γραμμή 13 ⟶ 15 :
:<math>H=\frac{p^2}{2m}+V(\bold{r})\ ,</math>
οπότε και ο αντίστοιχος [[τελεστής]] της στην κβαντική μηχανική θα είναι ο
:<math>\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{\bold{r}})</math>
Στην αναπαράσταση των θέσεων, ο τελεστής της θέσης ταυτίζεται με τη δράση του μονόμετρου '''r'''. Αντίθετα, ο τελεστής της [[ορμή|ορμής]] στην αναπαράσταση θέσεων έχει τη μορφή
:<math>\hat{p}=-i\hbar\
όπου '''∇''' ο τελεστής [[ανάδελτα]], η μορφή του οποίου εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Ο τελεστής της Χαμιλτονιανής για ένα σωματίδιο υπό την επίδραση χρονοανεξάρτητου δυναμικού θα είναι τελικά:
:<math>\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})</math>
Γραμμή 29 ⟶ 31 :
:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})\right)\Psi(\bold{r},t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t)</math>
Για δεδομένη μορφή δυναμικού, η εξίσωση αυτή μπορεί πάντοτε (τουλάχιστον θεωρητικά) να λυθεί είτε αναλυτικά (για ακριβώς επιλύσιμα δυναμικά, όπως ο [[αρμονικός ταλαντωτής (κβαντική μηχανική)|αρμονικός ταλαντωτής]]), είτε αριθμητικά με τη βοήθεια υπολογιστή.
=== Πώς σκέφτηκε ο Σρέντινγκερ ===
Παραπάνω είδαμε μία [[Αξίωμα|αξιωματική]] προσέγγιση προς την εξίσωση Σρέντινγκερ, το πώς όμως εκείνος κατέληξε στην εξίσωσή του δεν το γνωρίζουμε ακριβώς. Παρ' όλα αυτά, πιστεύεται ότι θα πρέπει να σκέφθηκε κάπως έτσι: <br />
Στον ηλεκτρομαγνητισμό, στα [[Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία|ηλεκτρομαγνητικά κύματα]], η ηλεκτρική συνιστώσα (Ε) όταν είναι [[Μονοχρωματική ακτινοβολία|μονοχρωματική]] περιγράφεται από την εξής μορφή:
Γραμμή 75 ⟶ 77 :
:<math>\Psi(\bold{r},t)=ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}</math>
== Αναλυτική
Η μόνη ουσιαστική μέθοδος για να λύσουμε αναλυτικά μία μερική [[διαφορική εξίσωση]] (διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων) όπως
Το ίδιο μπορούμε να εφαρμόσουμε
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math>
ικανοποιεί τα απαραίτητα κριτήρια που προαναφέραμε για να λειτουργήσει η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών. Ο τελεστής της [[λαπλασιανός τελεστής|Λαπλασιανής]] ∇<sup>2</sup> δρα μόνο πάνω στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτησης
Συνεπώς, υπό την παραπάνω προϋπόθεση (χρονοανεξάρτητο δυναμικό), ο τελεστής της Χαμιλτονιανής όντως ικανοποιεί τα απαραίτητα κριτήρια. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε την ''ολική'' κυματοσυνάρτηση, Ψ('''r''',t), ως γινόμενο δύο συναρτήσεων:
Γραμμή 88 ⟶ 90 :
:<math>\Psi(\bold{r},t)=\psi(\bold{r})T(t)</math>
Η συνάρτηση ψ('''r''') είθισται να ονομάζεται ''χωρική'' κυματοσυνάρτηση, μιας και εμπεριέχει χωρική πληροφορία (είναι συνάρτηση της μεταβλητής '''r'''). Αντίθετα, η συνάρτηση Τ θα είναι
Αν αντικαταστήσουμε τη μορφή αυτή της Ψ στην εξίσωση Σρέντινγκερ, βρίσκουμε ότι:
Γραμμή 102 ⟶ 104 :
Εκτελώντας τις πράξεις συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δυο συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών (μια του χρόνου και μια της μεταβλητής '''r''') θα είναι ίσες μεταξύ τους. Ο μόνος τρόπος δυο συναρτήσεις διαφορετικών μεταβλητών να είναι ίσες, είναι όταν και οι δύο ισούνται με μια σταθερά, έστω '''λ'''.
Προκύπτουν συνεπώς δύο εξισώσεις,
:<math>\hat{H}\psi(\bold{r})=\lambda\psi(\bold{r}) </math>
Γραμμή 114 ⟶ 116 :
Η χρονική συνάρτηση από την άλλη, θα ικανοποιεί τη παρακάτω διαφορική εξίσωση:
:<math> i\hbar\ \frac{\dot{T}(t)}{T(t)}=E\Leftrightarrow \dot{T}(t)=\frac{E}{i\hbar}T(t)\ ,</math>
της οποίας η λύση είναι τετριμμένη. Η χρονική συνάρτηση Τ(t) θα έχει λοιπόν την εξής μορφή:
Γραμμή 120 ⟶ 122 :
:<math>T(t)=e^{-iEt/\hbar}</math>
Άρα λοιπόν, η ολική κυματοσυνάρτηση του προβλήματος θα γράφεται ως εξής:
Γραμμή 126 ⟶ 128 :
:<math>\Psi(\bold{r},t)=N\psi(\bold{r})e^{-iEt/\hbar}</math>
:<math> \
πάνω σε ολόκληρο το χώρο να ισούται με μονάδα (το οποίο ισοδυναμεί με την προφανή απαίτηση η συνολική [[πιθανότητα]] να βρούμε το σωματίδιο οπουδήποτε στο χώρο, οποιαδήποτε χρονική στιγμή να είναι 1). Η συνθήκη αυτή θα μας προσδιορίσει τη σταθερά κανονικοποίησης '''Ν''', η οποία μας εξασφαλίζει ότι η ολική κυματοσυνάρτηση Ψ έχει όλα τα
Στην ίδια περίπτωση που μελετάμε, αξίζει να παρατηρήσουμε το εξής: Η πιθανότητα ανά μονάδα όγκου, P, να βρούμε το σωματίδιο σε
:<math> P=|\Psi(\bold{r},t)|^2=|\psi(\bold{r})e^{-iEt/\hbar}|^2=|\psi(\bold{r})|^2 \left|e^{-iEt/\hbar}\right|^2=|\psi(\bold{r})|^2 </math>
Η πιθανότητα είναι δηλαδή '''ανεξάρτητη του χρόνου'''. Και πάλι, αυτό είναι
=== Γιατί Ε είναι η ενέργεια του σωματίου; ===
Έχουμε ότι:
:<math>\hat{H}\Psi_{\vec{r}}=E\Psi_{\vec{r}}</math>.▼
Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι η μέση τιμή της ενέργειας (<math>\langle E\rangle</math>) και η αβεβαιότητα της (<math>\Delta E</math>) ισούνται με μηδέν (0).▼
:<math>\langle E\rangle=\langle \hat{H}\rangle=\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\hat{H}\Psi_{\vec{r}} dV=\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*E\Psi_{\vec{r}} dV=E\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\Psi_{\vec{r}} dV=E\int_{V_\infty}|\Psi_{\vec{r}}|^2 dV=E\cdot 1=E</math>▼
:<math>\Delta E=\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2</math>,▼
:<math>\langle E^2\rangle=\langle \hat{H}^2\rangle=\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\hat{H}^2\Psi_{\vec{r}} dV=\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\hat{H}(\hat{H}\Psi_{\vec{r}}) dV=E\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\hat{H}\Psi_{\vec{r}} dV=E^2\int_{V_\infty}\Psi_{\vec{r}}^*\Psi_{\vec{r}} dV=E^2</math>.▼
και συνεπώς απεδείχθη ότι η Ε όντως ήταν η ενέργεια του σωματιδίου.▼
▲Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι η μέση τιμή της ενέργειας (<
▲: <math> \langle E\rangle=\langle \hat{H}\rangle=\int_{V_{\infty}}\
όπου το * δηλώνει το συζυγές μιγαδικό. Υποθέσαμε επίσης ότι η χωρική κυματοσυνάρτηση ψ('''r''') είναι κανονικοποιημένη. Ομοίως,
▲: <math> \langle E^2\rangle=\langle \hat{H}^2\rangle=\int_{V_{\infty}}\
: <math>=E^2\int_{V_{\infty}}\psi(\bold{r})^{*}\psi(\bold{r})dV=E^2 </math>
Άρα λοιπόν,
== Ακριβώς επιλύσιμα προβλήματα ==
Αν και σε ρεαλιστικά προβλήματα η εξίσωση Σρέντιγκερ δεν επιλύεται ακριβώς, υπάρχουν ορισμένα ακριβώς επιλύσιμα προβλήματα τα οποία μελετώνται εκτενώς σε εισαγωγικά μαθήματα κβαντομηχανικής. Ορισμένα από τα προβλήματα αυτά είναι τα παρακάτω:
* Το [[Ελεύθερο σωμάτιο|ελεύθερο σωμάτιο]]
* Το [[Απειρόβαθο πηγάδι|απειρόβαθο πηγάδι]]
* Το [[Σωματίδιο σε δακτύλιο|σωματίδιο σε δακτύλιο]]
* Το [[Δυναμικό δέλτα|δυναμικό δέλτα]]
* Το [[Σκαλοπάτι δυναμικού|σκαλοπάτι δυναμικού]]
* Ο [[Αρμονικός ταλαντωτής (κβαντική μηχανική)|αρμονικός ταλαντωτής]]
* Το [[Το άτομο του Υδρογόνου (κβαντική μηχανική)|άτομο του υδρογόνου]]
Ο σκοπός της μελέτης τέτοιων προβλημάτων έχει καθαρά παιδαγωγικό χαρακτήρα, διότι αφενός μεν αναδεικνύουν τις σημαντικότερες πτυχές της κβαντικής θεωρίας ([[Αρχή της απροσδιοριστίας|απροσδιοριστία θέσης-ορμής]], [[κβάντωση|κβάντωση ενέργειας]], κτλ.), και αφετέρου λειτουργεί ως πρακτικός τρόπος εξάσκησης και εμπέδωσης των προχωρημένων μαθηματικών εργαλείων που πραγματεύεται αυτή ([[τελεστής|μαθηματικοί τελεστές]], [[χώρος Χίλμπερτ|χώροι Χίλμπερτ]], [[γραμμική άλγεβρα]], [[διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]] κτλ.).
== Εσωτερικοί Σύνδεσμοι ==▼
▲= Εσωτερικοί Σύνδεσμοι =
* [[Κβαντική μηχανική]]
* [[Κύμα]]
Γραμμή 231 ⟶ 179 :
* [[Κυματοσυνάρτηση]]
== Εξωτερικοί
[http://www.physics4u.gr/articles/2002/schrodingerequation.html Η εξίσωση Schrödinger]
== Βιβλιογραφία ==
* Τραχανάς Στέφανος, '''''Κβαντομηχανική Ι''''', Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2009
* Ταμβάκης Κυριάκος, '''''Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική''''', Leader Books 2003
Γραμμή 243 ⟶ 191 :
* Zettili Nouredine, '''''Quantum Mechanics Concepts and Applications''''', John Wiley and Sons 2009
* Χρησιμοποιήθηκαν επίσης σημειώσεις από το μάθημα της Κβαντικής Μηχανικής Ι του τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών
== Παραπομπές ==
{{παραπομπές}}
|