Για να οριστεί ο λογάριθμος, είναι αναγκαίο να δειχτεί ότι η εξίσωση
:<math>b^x = y \,</math>
έχει λύση ''x'' και ότι αυτή η λύση είναι μοναδική, υπό τον όρο ότι το ''y'' έιναιείναι θετικό και το ''b'' είναι θετικό και μη ίσο με τηντη μονάδα. Η απόδειξη αυτού απαιτεί το [[θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής]] από τον στοιχειώδη [[λογισμό]].<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|id={{hide in print|[[Mathematical Reviews|MR]][http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr{{=}}1476913 1476913]}}{{only in print|MR1476913}}
|year=1997|ref = harv}}, ενότητα III.3</ref> Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα μία [[συνεχής συνάρτηση]] η οποία έχει τιμές ''m'' και ''n'' έχει επίσης τιμές μεταξύ των ''m'' και ''n''. Μία συνάρτηση είναι ''συνεχής'' όταν δεν παρουσιάζει άλματα στη γραφική της παράσταση.
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να δειχτεί ότι ισχύει για τηντη συνάρτηση {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Επειδή η ''f'' παίρνει τυχαία μεγάλες και μικρές θετικές τιμές, οποιοσδήποτε αριθμός {{nowrap|''y'' > 0}} βρίσκεται μεταξύ του ''f''(''x''<sub>0</sub>) και ''f''(''x''<sub>1</sub>) για κατάλληλα ''x''<sub>0</sub> και ''x''<sub>1</sub>. Συνεπώς, το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής διασφαλίζει ότι η εξίσωση ''f''(''x'') = ''y'' έχει λύση. Επιπροσθέτως, υπάρχει μόνο μία λύση για αυτή την εξίσωση, επειδή η ''f'' είναι [[μονότονη συνάρτηση|γνησίως αύξουσα]] (για {{nowrap|''b'' > 1}}), ή γνησίως φθίνουσα (για {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).<ref name=LangIV.2 />
Η μοναδική λύση ''x'' είναι ο λογάριθμος του ''y'' με βάση ''b'', log<sub>''b''</sub>(''y''). Η συνάρτηση η οποία αποδίδει τιμές στο ''y'' αποκαλείται ''λογαριθμική συνάρτηση'' ή ''συνάρτηση λογαρίθμου'' (ή απλά ''λογάριθμος'').
