Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
 
== Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων ==
 
=== Θεώρημα Bolzano ===
:Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει <math>f(αa)\cdot f(βb) < 0 </math> τότε υπάρχει ένα στοιχείοτουλάχιστον ξ στο<math>\; x_0\in (αa, βb)</math> τέτοιοςτέτοιο ώστε <math> \textstyle f(ξx_0) = 0 </math>.
Γραφικά, το θεώρημα Bolzano σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της <math>\; f\;</math> τέμνει τον άξονα <math>\textstyle x'x</math> σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των <math>\textstyle a, b </math>
 
=== Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής ===
Το '''θεώρημα ενδιάμεσης τιμής''' βασίζεται στην αρχή της [[ακολουθία Κωσύ|πληρότητας]] και διατυπώνεται ως εξής:
:Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει <math>f(a)\neq f(b)</math> τότε για οποιοδήποτε <math>\textstyle \rho </math> μεταξύ των <math> \textstyle f(a) , f(b) </math> υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math> \textstyle f(\xi) = \rho </math>.
 
[[Αρχείο:ThMeVa.png]]
 
 
 
Ειδική περίπτωση του πιο πάνω είναι το εξής πόρισμα:
:Αν μια συνάρτηση <math> f </math> είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα <math> [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(α)f(β) < 0 τότε υπάρχει ένα στοιχείο ξ στο (α, β) τέτοιος ώστε f(ξ) = 0.
 
=== Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής ===
38

επεξεργασίες