Θεώρημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από [[συμπερασματικός κανόνας|συμπερασματικούς κανόνες]] και [[αξίωμα|αξιώματα]] χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Αυτό δεν έχει να κάνει με τη [[σημασιολογία]] της γλώσσας: η έκφραση που προκύπτει από μια παραγωγή είναι [[συντακτική συνέπεια]] όλων των εκφράσεων που προηγούνται. Στα μαθηματικά, η παραγωγή ενός θεωρήματος ερμηνεύεται συχνά ως απόδειξη της αλήθειας της έκφρασης που προκύπτει, αλλά διαφορετικά [[παραγωγικό σύστημα|παραγωγικά συστήματα]] μπορούν να δώσουν άλλες ερμηνείες, ανάλογα με το νόημα των κανόνων παραγωγής.

 

 

 

Λόγω του ότι τα θεωρήματα βρίσκονται στον πυρήνα των μαθηματικών, είναι επίσης κεντρικά και στην αισθητική τους. Θεωρήματα συχνά περιγράφονται ως ''προφανή'', ή ''δύσκολα'' ή ''βαθιά'', ή ακόμα και ''όμορφα''. Οι υποκειμενικές αυτές κρίσεις ποικίλουν όχι μόνο από άτομο σε άτομο, αλλά επίσης και με το χρόνο. Για παράδειγμα, καθώς μια απόδειξη απλοποιείται ή κατανοείται καλύτερα, ένα θεώρημα που ήταν κάποτε δύσκολο μπορεί να γίνει προφανές. Από την άλλη, ένα βαθύ θεώρημα μπορεί να τεθεί με απλό τρόπο, αλλά η απόδειξή του μπορεί να εμπεριέχει εκπληκτικές και ευφυείς συνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων περιοχών των μαθηματικών. Το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]] είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα ενός τέτοιου θεωρήματος.

Συχνά στα μαθηματικά επιλέγεται ένας αριθμός υποθέσεων που θεωρούνται αληθείς σε μια δεδομένη θεωρία, και στη συνέχεια λέγεται ότι η θεωρία αποτελείται από όλα τα θεωρήματα που αποδεικνύονται με αυτές τις υποθέσεις. Στην περίπτωση αυτή οι υποθέσεις που απαρτίζουν τη θεμελιακή αυτή βάση, λέγονται [[αξίωμα|αξιώματα]] (ή αιτήματα) της θεωρίας. Το γνωστικό πεδίο των μαθηματικών που μελετά τα τυπικά αξιωματικά συστήματα και τις αποδείξεις που μπορούν να γίνουν εντός τους, λέγεται [[θεωρία αποδείξεων]].

 

 

Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το [[θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων]] και η [[εικασία του Κέπλερ]]. Και τα δύο γνωρίζουμε ότι ισχύουν, ανάγοντάς τα σε υπολογιστική αναζήτηση, που στη συνέχεια επαληθεύεται με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή. Αρχικά, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδεχόντουσαν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά τα τελευταία χρόνια έχει γίνει περισσότερο αποδεκτή. Ο μαθηματικός [[Ντόρον Ζάιλμπέργκερ]] έχει φτάσει να ισχυριστεί ότι αυτά είναι πιθανώς τα μόνα μη προφανή αποτελέσματα που έχουν ποτέ αποδειχθεί από μαθηματικούς.<ref>[http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html Doron Zeilberger's 51st Opinion<!-- Αυτόματα δημιουργημένος τίτλος -->]</ref> Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε σαφείς υπολογισμούς, όπως οι πολυωνυμικές ταυτότητες, οι τριγωνομετρικές ταυτότητες, και οι υπεργεωμετρικές ταυτότητες<ref> Petkovsek et al. 1996.</ref>

* Η '''''[[Πρόταση (μαθηματικά)|πρόταση]]''''' είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη. Η λέξη ''[[Πρόταση (μαθηματικά)|πρόταση]]'' μερικές φορές χρησιμοποιείται για το δηλωτικό μέρος ενός θεωρήματος.

* Το '''''[[Λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]]''''' είναι ένα "προθεώρημα", μία δήλωση που σχηματίζει μέρος της απόδειξης ενός μεγαλύτερου θεωρήματος. Η διάκριση μεταξύ των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι μάλλον αυθαίρετη, μιας και το μείζον αποτέλεσμα του ενός [[μαθηματικός|μαθηματικού]] είναι η ελάσσων αξίωση ενός άλλου. Το [[Λήμμα του Γκάους (πολυώνυμο)|Λήμμα του Γκάους]] και το [[Λήμμα του Ζορν]], για παράδειγμα, είναι αρκετά ενδιαφέροντα ώστε μερικοί συγγραφείς να τα παρουσιάζουν χωρίς να έχουν πρόθεση να τα χρησιμοποιήσουν στην απόδειξη κάποιου θεωρήματος.

* Η '''''Αξίωση''''' (ή '''''αίτημα''''') είναι ένα απαραίτητο ή ανεξάρτητα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που μπορεί να είναι μέρος της απόδειξης μιας άλλης δήλωσης. Παρά το όνομα, οι αξιώσεις πρέπει να αποδειχθούν.

 

* '''''[[Ταυτότητα (μαθηματικά)|Ταυτότητα]]''''', που χρησιμοποιείται για θεωρήματα τα οποία δηλώνουν μια ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων. Παραδείγματα αποτελούν η [[Ταυτότητα του Όιλερ]] και η [[Ταυτότητα του Βαντερμόντ]].

* '''''Κανόνας''''', που χρησιμοποιείται για ορισμένα θεωρήματα, όπως ο [[Κανόνας του Μπαίυες]] και ο [[Κανόνας του Κράμερ]], που αποδεικνύουν χρήσιμους τύπους.

* '''''[[Αρχή]]'''''. Παραδείγματα αποτελούν η [[Αρχή του Χαρνάκ]], η [[Αρχή του ελαχίστου άνω φράγματος]], και η [[Αρχή της θυρίδας]].

* Το '''''[[Αντιστροφή (λογική)|Αντίστροφο]]''''' ενός άλλου θεωρήματος. Για παράδειγμα, αν ένα θεώρημα δηλώνει ότι το ''Α'' έχει σχέση με το ''Β'', τότε το αντίστροφό του θα δήλωνε ότι το ''Β'' έχει σχέση με το ''Α''. Το αντίστροφο ενός θεωρήματος δεν είναι απαραιτήτως πάντα αληθές.