Θεωρία αριθμών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→Ιστορία: Απολύτως ακατανόητη παράγραφος. Παρακαλώ να γίνει εισαγωγή εκ νέου |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη |
||
Γραμμή 1:
{{πηγές|05|06|2013}}
{{μορφοποίηση|παραπομπές, σημειώσεις, λάθος πρότυπα}}
{{Επιστημονικό πεδίο|
|όνομα= Θεωρία Αριθμών
|dewey= 512
|msc2010= 97F60
}}
{{πηγές|05|06|2013}}
{{μορφοποίηση|παραπομπές, σημειώσεις, λάθος πρότυπα}}
Γραμμή 120 ⟶ 127 :
Σε αυτό το πλαίσιο, ο όρος'' ερασιτέχνης'' εφαρμόζεται συνήθως για τον Goldbach και είναι καλά καθορισμένη και έχει κάποιο νόημα: Έχει χαρακτηριστεί ως ένας άνθρωπος των γραμμάτων ο οποίος κέρδισε το ζην ως κατάσκοπος {{harv | Truesdell | 1984 | p = xv}} αναφέρεται στην {{harvnb | Varadarajan | 2006 | p = 9}}). Ανακοίνωση, ωστόσο, ο Goldbach δημοσίευσε κάποια έργα για τα μαθηματικά και μερικές φορές κατείχε ακαδημαϊκές θέσεις </ ref> [[Christian Goldbach | Goldbach.]]. Επισήμανε τον προς κάποια από τα έργα του Φερμά για το θέμα {{SFN | Weil | 1984 | pp = 2, 172}} {{SFN | Varadarajan | 2006 | p = 9}} Αυτό έχει κληθεί η «αναγέννηση» της σύγχρονης θεωρίας αριθμών, {{SFN | Weil | 1984 | pp = 1-2}} μετά από σχετική έλλειψη του Φερμά της επιτυχίας στο να πάρει την προσοχή των συγχρόνων του για το θέμα </ref> {{harvnb | Weil | 1984 | p = 2}}. και {{harvnb | Varadarajan | 2006 | p = 37}} εργασία </ ref>Ο Euler σχετικά με την θεωρία αριθμων περιλαμβάνει τα ακόλουθα: </ref> {{harvnb | Varadarajan | 2006 | p = 39}} και {{harvnb | Weil | 1984 | pp = 176-189}} </ ref>
* Αποδείξεις'' για τις δηλώσεις του Φερμά''.Αυτό περιλαμβάνει το [[μικρό θεώρημα του Φερμά]] (γενίκευση από τον Euler σε μη-prime moduli).Το γεγονός ότι <math>\scriptstyle p = x^2 + y^2</math> αν και μόνο αν <math>\scriptstyle p\equiv 1\; mod\; 4</math> οι αρχικές εργασίες προς μια απόδειξη ότι κάθε ακέραιος είναι το άθροισμα των τεσσάρων τετραγώνων (η πρώτη πλήρης απόδειξη είναι απο τον [[Joseph-Louis Lagrange]] (1770), μόλις βελτιωθεί με τον εαυτό του ο Euler {{SFN | Weil | 1984 | pp 178-179 =}}) η έλλειψη των μη μηδενικών ακεραίων λύσεων για <math>\scriptstyle x^4 + y^4 = z^2</math> (υπονοώντας την υπόθεση'' n = 4'' του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, η υπόθεση'' n = 3'' των οποίων ο Euler αποδεικνύεται και από μια σχετική μέθοδο).
Γραμμή 269 ⟶ 283 :
Ένα ντόνατ έχει μια τρύπα. Ως εκ τούτου το γένος που είναι 1 </ ref> και οι μεταβλητές που επιτρέπουν <math>f(x,y)=0</math> είναι πολύπλοκοι αριθμοί. Τότε <math>f(x,y)=0</math> ορίζει μια 2-διαστάσεων επιφάνεια (προβολική) σε εναν 4-διάστασεων χώρο (δεδομένου ότι οι δύο σύνθετες μεταβλητές μπορούν να αναλυθούν σε τέσσερεις πραγματικές μεταβλητές, δηλαδή τέσσερις διαστάσεις).Η αρίθμηση-
ο αριθμός των (ντόνατς) τρύπών στην επιφάνεια ποιος ειναι?Καλέσετε τον αριθμό αυτό το'' γένος'' της <math>f(x,y)=0</math>. Άλλες γεωμετρικές έννοιες έχουν αποδειχθεί ότι είναι εξίσου ζωτικής σημασίας.
Υπάρχει επίσης μια στενά συνδεδεμένη περιοχή των [[Diophantine προσεγγίσεων]]:όπου δίνεται ένας αριθμός <math>x</math>.Πόσο καλά μπορεί αυτός να προσεγγιστεί από ρητούς; (Ψάχνουμε για προσεγγίσεις που είναι καλές σε σχέση με το μέγεθος του χώρου που χρειάζεται για να γράψει την ορθολογική: καλέστε <math>a/q</math> (με <math>\gcd(a,q)=1</math>) είναι μια καλή προσέγγιση για να <math>x</math> εάν <math>\scriptstyle |x-a/q|<\frac{1}{q^c}</math>, όπου <math>c</math> είναι μεγάλη.) Το ζήτημα αυτό έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, αν <math>x</math> είναι ένας αλγεβρικός αριθμός. Αν <math>x</math> δεν μπορεί να προσεγγιστεί, τότε κάποιες εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ή λογικές λύσεις. Επιπλέον,οι διάφορες έννοιες (ειδικά το [[ύψους ]])ώστε να αποδειχθεί ότι είναι ζωτικής σημασίας τόσο στην Diophantine γεωμετρία και στη μελέτη των Diophantine προσεγγίσεων. Αυτή η ερώτηση είναι επίσης ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα στην [[θεωρία της υπέρβαση]]: αν ένας αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί καλύτερα από κάθε αλγεβρικό αριθμό, τότε είναι ένας [[υπερβατικός αριθμός]]. Είναι από αυτό το επιχείρημα ότι η [[Pi | {{pi}}]] και [[e (μαθηματική σταθερά) | e]] έχει αποδειχθεί ότι είναι υπερβατικοί.
Η Diophantine γεωμετρία δεν θα πρέπει να συγχέεται με την [γεωμετρία [των αριθμών]], η οποία είναι μια συλλογή των γραφικών μεθόδων για την απάντηση σε ορισμένες ερωτήσεις της Αλγεβρικής Θεωρία Αριθμών.Η '' Αριθμητική Γεωμετρία'' , από την άλλη πλευρά, είναι ένας σύγχρονος όρος
για τον ίδιο τομέα με ότι καλύπτεται από τον όρο'' Διοφαντική'' γεωμετρία. Ο όρος''αριθμητική γεωμετρία '' αναμφισβήτητα χρησιμοποιείται
πιο συχνά όταν κάποιος επιθυμεί να τονίσει τις συνδέσεις με τη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία (όπως, για παράδειγμα,το [[Faltings θεώρημα]]) και όχι σε τεχνικές Diophantine προσεγγίσεων.
== Πρόσφατες προσεγγίσεις και υποπεδία ==
Οι περιοχές κάτω από την ημερομηνία ακόμη και αν βασίζονται σε παλαιότερο υλικό δεν χρονολογούνται νωρίτερα από τα μέσα του εικοστού αιώνα, . Για παράδειγμα, όπως εξηγείται παρακάτω, το θέμα των αλγορίθμων στην θεωρία αριθμών είναι πολύ παλιά, κατά κάποιο τρόπο μεγαλύτερα από την έννοια της απόδειξης.Την ίδια στιγμή, η σύγχρονη μελέτη της [[υπολογισιμότητα]] χρονολογείται μόλις από τη δεκαετία του 1930 και του 1940 , και η [[υπολογιστική θεωρία πολυπλοκότητας]] από το 1970.
=== Πιθανολογική θεωρία αριθμών ===
{{main | πιθανολογική θεωρία αριθμός}}
Πάρτε έναn τυχαίο αριθμό μεταξύ του ενός και ένα εκατομμύριο. Πόσο πιθανό είναι να είναι βασικός; Αυτός είναι απλά,ένας άλλος τρόπος για να ζητήσεις πόσες εμπυρευματίζει υπάρχουν μεταξύ ενός και ένα εκατομμύριο. Περαιτέρω: πόσους πρώτους διαιρέτες θα έχει, κατά μέσο όρο; Πόσους διαιρέτες θα έχει εντελώς, και με ποια πιθανότητα; Ποια είναι η πιθανότητα ότι θα έχει πολλούς περισσότερους ή πολύ λιγότερους διαιρέτες και πόσοι θα είναι οι πρώτοι διαιρέτες σε σχέση από το μέσο όρο;
Μεγάλο μέρος των πιθανοτήτων στην θεωρία αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως μια σημαντική ειδική περίπτωση της μελέτης των μεταβλητών που είναι σχεδόν, αλλά όχι αρκετά, αμοιβαία η [[στατιστική ανεξαρτησία | ανεξάρτητου]]. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι ένας τυχαίος ακέραιος μεταξύ ενός και ένα εκατομμύριο να διαιρείται με το δύο και το γεγονός ότι διαιρείται με το τρία είναι σχεδόν ανεξάρτητο.
Είναι μερικές φορές που η [[πιθανολογική Συνδυαστική]] χρησιμοποιεί το γεγονόςπου συμβαίνει με την πιθανότητα μεγαλύτερη από <math>0</math>.Πρέπει να συμβεί αυτό μερικές φορές? Μπορεί κανείς να πει με την ίδια δικαιοσύνη ότι πολλές εφαρμογές των πιθανοτήτων άρθρωσης της θεωρίας αριθμών για το γεγονός πως ό,τι είναι ασυνήθιστο πρέπει να είναι σπάνιο. Εάν κάποια αλγεβρικά αντικείμενα (ας πούμε,η λογικές ή ακέραιες λύσεις σε ορισμένες εξισώσεις) μπορεί να αποδειχθούν για να είναι στην ουρά ορισμένων ώστε να ορίζονται διανομές.Προκύπτει ότι πρέπει να υπάρχουν μερικά από αυτά.Αυτό είναι μερικές πολύ συγκεκριμένες μη πιθανολογικές δηλώσεις μετά από μια πιθανολογική.
Μερικές φορές η μη αυστηρή,η πιθανολογική προσέγγιση οδηγεί σε μια σειρά από [[heuristic]] αλγορίθμων και ανοιχτά προβλήματα, κυρίως όπως η[[εικασία του Cramer]].
=== Συνδυαστική Αριθμητική ===
{{κύριο | Συνδυαστική Αριθμητική | Πρόσθετη θεωρία αριθμών}}
Ας'' Α'' είναι ένα σύνολο ακεραίων'' Ν''. Ας εξετάσουμε το σύνολο'' Α'' +'' A'' = {'' m'' +'' n'' |'' m'','' n'' ∈'' Α''} που αποτελείται από όλα τα ποσά των δύο στοιχείων του'' Α''.Το '' A + A'' είναι πολύ μεγαλύτερη από'' A''; Μόλις μεγαλύτερο; Αν'' A + A'' είναι ελάχιστα μεγαλύτερο από'' A'',θα πρέπει το '' Α''να έχει την αφθονία της αριθμητικής δομής, για παράδειγμα, κάνει'' Α'' μοιάζει με μια [[αριθμητική πρόοδο;]]
Αν αρχίσουμε από έναν αρκετά "χοντρό" άπειρο σύνολο <math>A</math>, δεν θα περιέχει πολλά στοιχεία σε αριθμητική πρόοδο: <math>a</math>,
<math>a+b</math>, <math> a+2 b</math>, <math>a+3 b</math>, <math>\ldots</math> , <math>a+10b</math>.Είναι δυνατό να γράφτουν οι μεγάλοι ακεραίοι ως αθροίσματος των στοιχείων του <math>A</math>;
Αυτές οι ερωτήσεις είναι χαρακτηριστικές της ''Συνδυαστικής αριθμητικής''. Αυτό είναι ένα σήμερα συνενώνονται τομέα? Υπάγει η'' [[ πρόσθετης θεωρίας αριθμών]]'' (η οποία ασχολείται με ορισμένες πολύ συγκεκριμένες ομάδες <math>A</math> σημασία αριθμητικές πράξεις, όπως οι primes ή στις πλατείες) και , αναμφισβήτητα, ορισμένες από την'' [[γεωμετρία των αριθμών]]'',
μαζί με κάποιο ταχέως αναπτυσσόμενο νέο υλικό. Η εστίασή της σε θέματα ανάπτυξης και η διανομή εν μέρει για την ανάπτυξη δεσμών της με την [[ergodic θεωρία]], [[πεπερασμένη θεωρία ομάδών]], [[θεωρία μοντέλο]], και σε άλλους τομείς. Ο όρος'' πρόσθετη'' Συνδυαστική χρησιμοποιείται επίσης.Ωστόσο, τα σύνολα <math>A</math> μελετάται δεν χρειάζεται να είναι ακέραια σύνολα, αλλά μάλλον υποσύνολα μη commutative [[Ομάδα (μαθηματικά) | ομάδες]] .Επιπλέον, μπορούν επίσης να είναι υποσύνολα του [δακτύλιου [(μαθηματικά) | δακτυλίου]] s, περίπτωση στην οποία η ανάπτυξη των <math>A+A</math> και <math>A</math>·<math>A</math>> μπορεί να είναι σε σύγκριση.
=== Υπολογισμοί στην θεωρία αριθμών ===
{{main | Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών}}
Ενώ η λέξη'' αλγόριθμος'' ανάγεται μόνο σε ορισμένους αναγνώστες της [[al-Khwarizmi]], η προσεκτική περιγραφή των μεθόδων της λύσης είναι μεγαλύτερη από ό,τι οι αποδείξεις: τέτοιες μεθόδους (δηλαδή, αλγόριθμοι) είναι τόσο παλιοί όσο και κάθε είδους αναγνωρίσιμα μαθηματικά- αρχαία αιγυπτιακά, βαβυλωνιακά, Βεδικά, κινέζικα, ενώ οι αποδείξεις εμφανίστηκαν μόνο με τους Έλληνες της κλασσικής περιόδου.
Μια ενδιαφέρουσα πρόωρη περίπτωση είναι ότι αυτό που σήμερα αποκαλούμε ο [[αλγόριθμος του Ευκλείδη]].Στη βασική του μορφή (δηλαδή ως έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του [[μέγιστου κοινού διαιρέτη]]) που εμφανίζεται ως η Πρόταση 2 του βιβλίου VII στα'' [[Στοιχεία του Ευκλείδη | Στοιχεία]]'', μαζί με την απόδειξη της ορθότητας. Ωστόσο, με τη μορφή που χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία αριθμού (δηλαδή, ως αλγόριθμος για την εύρεση λύσεων ακέραιος σε μια εξίσωση <math>\scriptstyle a x + b y = c</math>
ή,η οποια είναι η ίδια, για την εύρεση των ποσοτήτων των οποίων η ύπαρξη είναι εξασφαλισμένη από το [[Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων]]) και εμφανίζεται για πρώτη φορά στα έργα του [[Αριαμπάτα # Απροσδιόριστο εξισώσεις | Αριαμπάτα]] (5ος-6ος αιώνας μ.Χ.), όπως μια που ονομάζεται αλγόριθμος της'' Kuṭṭaka'' ("τριβείο"), χωρίς την απόδειξη της ορθότητας.
Υπάρχουν δύο βασικά ερωτήματα: «μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό;" και «μπορούμε να το υπολογίσουμε γρήγορα;". Ο καθένας μπορεί να ελέγξει εάν ένας αριθμός είναι πρώτος ή, αν δεν είναι, θα μπορεί να χωριστεί σε πρωταρχικούς παράγοντες?Και το πόσο γρήγορα το κάνει είναι ένα άλλο θέμα. Γνωρίζουμε τώρα την ταχύτητα των αλγορίθμων για [[test primality | primality δοκιμές]], αλλά, παρά την πολλή δουλειά (τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πρακτικό επίπεδο), δεν είναι ένας πραγματικά γρήγορος αλγόριθμος για το factoring.
Η δυσκολία του υπολογισμού μπορεί να είναι χρήσιμη:στα σύγχρονα πρωτόκολλα για την [[κρυπτογραφία | κρυπτογράφηση μηνυμάτων]] (π.χ., [[RSA (αλγόριθμος) | RSA]]) όπου εξαρτώνται από τις λειτουργίες που είναι γνωστό σε όλους, αλλά των οποίων οι αντίστροφες (α) έχουν γνωστό μόνο σε λίγους εκλεκτούς, και (β) το ένα θα πάρει πάρα πολύ καιρό,π.χ. ένα χρόνο για να το καταλάβει από μόνος του. Για παράδειγμα, αυτές οι λειτουργίες μπορούν να είναι τέτοια ώστε τα inverses τους μπορεί να υπολογιστούν μόνο εάν τα factorized είναι ορισμένων μεγάλων ακεραίων. Ενώ είναι γνωστά πολλά και δύσκολα υπολογιστικά προβλήματα έξω από θεωρία αριθμών, οι περισσότεροι που εργάζονται σε πρωτόκολλα κρυπτογράφησης στις μέρες μας βασίζονται με δυσκολία σε ένα μικρό αριθμό των θεωρητικών προβλημάτων.
Σε μια διαφορετική νότα - κάποια πράγματα δεν μπορεί να υπολογιστούν καθόλου?Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να αποδειχθεί σε ορισμένες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, το 1970, αποδείχθηκε ότι δεν υπάρχει η [[Turing μηχανή]] που μπορεί να λύσει όλες της Diophantine εξισώσεις (βλ. [[10ο πρόβλημα του Hilbert]]). Υπάρχουν λοιπόν κάποια προβλήματα στη θεωρία αριθμών που δεν πρόκειται ποτέ να λυθούν. Γνωρίζουμε ακόμη και το σχήμα ορισμένων από αυτά, δηλαδή,οι Diophantine εξισώσεις με εννέα μεταβλητές.Εμείς απλά δεν ξέρουμε, και δεν μπορεί να γνωρίζουμε, ποίοι συντελεστές μας έχουν δώσει εξισώσεις για τις οποίες οι δύο ακόλουθες δηλώσεις είναι τόσο αληθινοί:. Δεν υπάρχουν λύσεις, και δεν θα μάθουμε ποτέ ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
== Εφαρμογές ==
Ο θεωρητικός αριθμολόγος [[Leonard Dickson]] (1874-1954) είπε: «Δόξα τω Θεό ότι η θεωρία αριθμών χρησιμοποιείτε από οποιαδήποτε εφαρμογή". Μια τέτοια άποψη δεν ισχύει πλέον στην θεωρία αριθμών. </ref> "Την παράλογη αποτελεσματικότητα της Θεωρίας Αριθμών», Stefan Andrus Burr, George E. Andrews, American Mathematical Soc., 1992, ISBN 9780821855010 </ ref>.Το 1974 ο [[Donald Knuth]] είπε: «... σχεδόν κάθε θεώρημα στην στοιχειώδη θεωρία αριθμών προκύπτει σε έναν φυσικό,και προσδίδει κινητήριο τρόπο σε σχέση με το πρόβλημα του κάνοντας τους υπολογιστές να κάνουν υψηλής ταχύτητας αριθμητικών υπολογισμών". </ref>.Η πληροφορική και η σχέση της με τα μαθηματικά "DE Knuth - Η αμερικανική Μαθηματική Μηνιαία, 1974 </ ref>.Στο Δημοτικό η θεωρία αριθμών διδάσκεται στα [[διακριτά μαθηματικά]],μαθήματα για τις [[επιστήμες υπολογιστών]] s, και από την άλλη πλευρά η θεωρία αριθμών έχει εφαρμογές και στη συνεχή [[αριθμητική Ανάλυση]]. </ref> "Εφαρμογές στις θεωρίες αριθμών στην αριθμητική ανάλυση", Lo-keng Hua, Luogeng Hua, Yuan Wang, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10382-0 </ ref>.Όπως καθώς και τις γνωστές εφαρμογές στην [[κρυπτογραφία]], υπάρχουν επίσης και εφαρμογές σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών</ref>{{cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/24971/practical-applications-of-algebraic-number-theory |title=Practical applications of algebraic number theory |publisher=Mathoverflow.net |date= |accessdate=2012-05-18}}</ref><ref>{{cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/90700/where-is-number-theory-used-in-the-rest-of-mathematics |title = Πρακτικές εφαρμογές αλγεβρική Θεωρία Αριθμών | publisher=Mathoverflow.net |date=2008-09-23 |accessdate=2012-05-18}}</ref>}.
| |||