Πραγματικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
επιμέλεια |
||
Γραμμή 9:
== Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών ==
Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο <math>\R</math> το οποίο
* Το σύνολο <math>\R</math> αποτελεί [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Αναλυτικά:
** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
Γραμμή 24:
* Το διατεταγμένο σώμα <math>\R</math> είναι [[πλήρες]]: Κάθε μη κένό άνω [[Φράγμα (μαθηματικά)|φραγμένο]] υποσύνολό του έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (suprimum).
:Ισοδύναμα μπορούμε να ορίσουμε την πληρότητα με τον ορισμό στους μετρικούς χώρους, δηλαδή κάθε [[ακολουθία Κωσύ]]
Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι [[Ισομορφισμός|ισομορφικά]], κάτι που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο '''ένα''' [[πλήρες διατεταγμένο σώμα]], το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο <math>\Q</math> των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την [[Αρχή της πληρότητας]] ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.
== Κατασκευή ==
Για την κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούμε ως
Ζητούμε ένα σύνολο που είναι διατεταγμένο σώμα όπως το <math>\Q</math> και επιπλέον ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας.
Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους.
Γραμμή 35:
* '''Τομές Dedekind''':
Οι [[τομές Dedekind]] είναι άνω φραγμένα ανοιχτά υποσύνολα του <math>\Q</math>.
Για κάθε ρητό αριθμό <math> a \in \Q</math>
To <math>\R</math> κατασκευάζεται από το σύνολο των τομών Dedekind.
* '''Ακολουθίες Κωσύ'''
Θεωρούμε τις [[ακολουθία Κωσύ|ακολουθίες Κωσύ]] στον <math>\Q</math> και ορίζουμε την ακόλουθη [[σχέση ισοδυναμίας]]:
Δύο ακολουθίες Κωσύ (α<sub>ν</sub>) και (β<sub>ν</sub>) είναι ισοδύναμες
To <math>\R</math> κατασκευάζεται από το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας.
Γραμμή 54:
== Πληθάριθμος ==
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι '''υπεραριθμήσιμο'''. Σε αντίθεση δηλαδή με τους [[φυσικός αριθμός|φυσικούς αριθμούς]] δεν μπορούμε να
Ο [[πληθάριθμος]] του <math>\R</math> συμβολίζεται με τον ''πληθάριθμο του συνεχούς'' <math>\mathfrak c</math>.
Σύμφωνα με την ''υπόθεση του συνεχούς'' του [[Γκέοργκ Καντόρ|Καντόρ]], ότι δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεταξύ
== Τοπολογικές ιδιότητες ==
Γραμμή 63:
O <math>\R</math> δεν είναι [[συμπαγής μετρικός χώρος]]. Υπάρχει ''ανοιχτή κάλυψη'' του <math>\R</math> για την οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη.
Π.χ. θεωρούμε τα σύνολα <math>U_n=(n-1, n+1)</math>. Η ένωσή τους <math>\cup_{n\in \N} U_n</math> είναι μια κάλυψη του <math>\R</math>. Δεν υπάρχει όμως πεπερασμένος αριθμός των <math>U_n</math> που μπορούν να
Ο <math>\R</math> είναι όμως ''τοπικά συμπαγής'', για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει [[περιοχή (μαθηματικά)|περιοχή]] του, της οποίας η κλειστή θήκη είναι συμπαγής.
| |||