Σειρές Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η σειρά Fourier πήρε το όνομά της προς τιμήν του [[Ζοζέφ Φουριέ]] (''Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)), ο οποίος έκανε σημαντικές συνεισφορές στη μελέτη των [[τριγωνομετρική σειρά|τριγωνομετρικών σειρών]], μετά από προκαταρκτικές έρευνες από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]], [[Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ]], και [[DanielΝτάνιελ BernoulliΜπερνούλι]]. Ο Fourier εισήγαγε τη σειρά με σκοπό την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας σε μια μεταλλική πλάκα, δημοσιεύοντας τα πρώτα αποτελέσματα του το 1807 [[Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]] (Διατριβή στην διάδοση της θερμότητας σε στερεά σώματα), και με την δημοσίευση Théorie analytique de la chaleur (Αναλυτική Θεωρία της Θερμότητας) το 1822. Η πρώτη ιδέα για την αποσύνθεση μιας περιοδικής συνάρτησης σε άθροισμα απλών συναρτήσεων ταλάντωσης, που χρονολογείται περίπου τον 3ο αιώνα π.Χ., όπου οι αρχαίοι αστρονόμοι πρότειναν ένα εμπειρικό μοντέλο πλανητικών κινήσεων, στηριζόμενο στην [[κυκλική τροχιά]].

Η εξίσωση θερμότητας είναι μια [[μερική διαφορική εξίσωση]]. Πριν από το έργο του Fourier, καμία λύση για την εξίσωση της θερμότητας δεν ήταν γνωστή στη γενική περίπτωση, αν και ήταν γνωστές οι μερικές λύσεις της στην περίπτωση που η πηγή θερμότητας συμπεριφερόταν με έναν απλό τρόπο, ιδίως, εάν η πηγή θερμότητας ήταν ένα [[ημιτονοειδές]] ή [[συνημιτονοειδές]] κύμα. Αυτές οι μερικές λύσεις καλούνται [[χαρακτηριστικές συναρτήσεις]] ή [[ιδιοσυνάρτηση|ιδιοσυναρτήσεις]]. Η ιδέα του Fourier ήταν να μοντελοποιήσει μια περίπλοκη πηγή θερμότητας ως μια επαλληλία (ή [[γραμμικός συνδυασμός|γραμμικό συνδυασμό]]) απλών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών κυμάτων, και να γράψει τη λύση ως μια επαλληλία των αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων. Η σύνθεση των μελών της επαλληλίας ή του γραμμικού συνδυασμού ονομάζεται σειρά Fourier.

Από μια σύγχρονη άποψη, τα αποτελέσματα του Fourier είναι κάπως άτυπα, καθώς δεν υπήρχε ακριβής ορισμός των εννοιών της [[συνάρτηση|συνάρτησης]] και του [[ολοκλήρωμα|ολοκληρώματος]] στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Αργότερα, οι [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] και [[Bernhard RiemannΜπέρναρντ Ρίμαν]] εξέφρασαν τα αποτελέσματα του Fourier με μεγαλύτερη ακρίβεια και τυπικότητα.

Αν και ο πρωταρχικός στόχος ήταν η επίλυση της εξίσωσης θερμότητας, αργότερα έγινε φανερό ότι οι ίδιες τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων μαθηματικών και φυσικής, και ιδιαίτερα προβλήματα που αφορούν γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, για τις οποίες οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ημιτονοειδών μορφών. Η σειρά Fourier έχει πολλές τέτοιες εφαρμογές στον τομέα της [[ηλεκτρολογία|ηλεκτρολογίας]], της [[ανάλυση κραδασμών|ανάλυσης κραδασμών]], στην [[ακουστική]], [[ οπτική]], [[επεξεργασία σήματος]], [[επεξεργασίας εικόνας|επεξεργασία εικόνας]], στην [[κβαντομηχανική]], [[οικονομετρία]], στη θεωρία [[λεπτού κέλυφους με τοιχώματα]], κ.τ.λ.