Επεξεργασία σήματος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Επιμέλεια με τη χρήση AWB (10269) |
P.a.a (συζήτηση | συνεισφορές) |
||
Γραμμή 32:
Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική ανάλυση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t<sub>0</sub>) για είσοδο αδ(t-t<sub>0</sub>), λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t<sub>0</sub> της εισόδου συμβάλλει στον σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t<sub>0</sub>,t<sub>0</sub>+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί πλήρως από τη μαθηματική πράξη της [[συνέλιξη]]ς μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t) (συμβολίζεται με «*»). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη [[ολοκλήρωμα|ολοκλήρωση]], δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)). Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και τον ρόλο της κρουστικής εισόδου δ(t) μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι «επαρκώς σύντομη» για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό [[μάτι]] οποιοδήποτε [[αστέρι]] ή [[πλανήτης]] του νυχτερινού ουρανού δρα ως δ(t) για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του ματιού).
Μία εναλλακτική μέθοδος ανάλυσης όπως προαναφέρθηκε είναι η ανάλυση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός [[Μετασχηματισμός Φουριέ]] μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα στον σχηματισμό του. Έτσι π.χ. ο Μετασχηματισμός Φουριέ ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η κρουστική συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα. Η σημασία της ανάλυση Φουριέ έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος.
[[Image:Synthesis square.gif|thumb|450px|right|''Διαδοχική πρόσθεση αρμονικών συνιστωσών με τελικό στόχο τη σύνθεση ενός «τετραγωνικού» περιοδικού σήματος'']]
Ο Μετασχηματισμός Φουριέ της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος ονομάζεται '''[[συνάρτηση μεταφοράς]]''' ή '''απόκριση συχνοτήτων''' του συστήματος. Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί μία ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι στο πεδίο των συχνοτήτων μετατρέπεται σε ένα απλό γινόμενο (επομένως η σχέση y(t)=h(t)*x(t) μετασχηματίζεται στον τύπο Y(Ω)=H(Ω)X(Ω), αν λάβουμε το φάσμα Φουριέ των εμπλεκόμενων ποσοτήτων). Έτσι, αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μηδενική έξω από ένα περιορισμένο διάστημα συχνοτήτων [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>], τότε το φάσμα κάθε εξόδου περιέχει τις συχνότητες της αντίστοιχης εισόδου οι οποίες εμπερικλείονται στο διάστημα αυτό (πιθανώς με τροποποιημένο πλάτος και φάση στο πεδίο του χρόνου σε σχέση με την είσοδο) και καμία άλλη συχνότητα, καθώς λόγω του πολλαπλασιασμού H(Ω)X(Ω) το φάσμα της εξόδου μηδενίζεται πέραν των ορίων του διαστήματος [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>]. Το διάστημα αυτό καλείται '''[[εύρος ζώνης]]''' του συστήματος. Συστήματα τα οποία στην έξοδό τους διατηρούν απαράλλακτες, ως προς το πλάτος και τη φάση, τις συχνοτικές συνιστώσες της εισόδου οι οποίες εμπίπτουν σε ένα διάστημα [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>], αλλά μηδενίζουν κάθε άλλη συνιστώσα, ονομάζονται '''φίλτρα'''. Ένα φίλτρο λέγεται:
| |||