Π (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

===Αρρητότητα και Υπέρβασηυπερβατικότητα===

ΌχιΔεν όλοιστόχευαν όλες οι μαθηματικοίμαθηματικές πρόοδοι ποπου αφορούν τον π στόχευαν στην αύξηση της ακρίβειας των προσεγγίσεων. Όταν ο Euler[[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] έλυσε το [[πρόβλημα Basel]] το [[1735]], βρίσκοντας την ακριβή τιμή του αθροίσματος των αμφότερων τετραγώνων, καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ του π και των [[Πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]] που αργότερα συνέλαβαν στην ανάπτυξη και στη μελέτη της [[ζήτα συνάρτηση|συνάρτησης ζήτα]] του [[Riemann]]:<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=284}}</ref>

:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots .</math>

Ο Ελβετός επιστήμονας [[Johann Heinrich Lambert|Λάμπερτ]] το 1761 απέδειξε ότι ο π είναι [[Άρρητος αριθμός|άρρητος]], που σημαίνει ότι δεν είναι ίσος με το πηικοπηλίκο δύο ακεραίων αριθμών.<ref name="Arndt_i" /> H [[απόδειξη ότι π άρρητος|απόδειξη του LambertΛάμπερτ]] εκμεταλλεύτηκε μια αναπαράσταση συνεχών κλασμάτων της συναρτησηςσυνάρτησης εφαπτομένηεφαπτομένης.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprintedανατύπωση inστο {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[Adrien-Marie Legendre|Λεζάντρ]] απέδειξε το [[1794]] ότι ο π² είναι επίσης άρρητος. Το [[1882]], ο Γερμανός μαθηματικός [[Ferdinand von Lindemann|φον Λίντεμαν]] απέδειξε ότι ο π είναι [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]], επιβεβαιώνοντας την εικασία που έκαναέκαναν αμφότερααμφότεροι ο [[Legendre]]Λεζάντρ και ο [[Όιλερ|Euler]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>