Θεώρημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

Οι αποδείξεις των θεωρημάτων έχουν δυο μέρη, που λέγονται '''[[υπόθεση|υποθέσεις]]''' και '''συμπεράσματα'''. Η απόδειξη ενός μαθηματικού θεωρήματος είναι ένα λογικό επιχείρημα που επιδεικνύει ότι τα συμπεράσματα είναι αναγκαία συνέπεια των υποθέσεων, με την έννοια ότι αν οι υποθέσεις είναι αληθείς, τότε και τα συμπεράσματα πρέπει επίσης να είναι αληθή, χωρίς περαιτέρω υποθέσεις. Η έννοια του θεωρήματος είναι επομένως θεμελιωδώς ''[[συμπερασματικά]]'', σε αντίθεση με την έννοια μιας επιστημονικής [[θεωρία]]ς, η οποία είναι [[εμπειρικός|εμπειρική]].

Αν και μπορούν να γραφούν σε τελείως συμβολική μορφή με χρήση, για παράδειγμα, του [[προτασιακός λογισμός|προτασιακού λογισμού]], τα θεωρήματα πιο συχνά γράφονται σε φυσική γλώσσα όπως π.χ. τα [[Ελληνική γλώσσα|Ελληνικά]] ή τα [[Αγγλική γλώσσα|Αγγλικά]]. Το ίδιο ισχύει και για τις αποδείξεις, που συχνά εκφράζονται ως λογικά οργανωμένα και καθαρά διατυπωμένα, άτυπα επιχειρήματα που σκοπό έχουν να δείξουν ότι μπορεί να κατασκευαστεί μια τυπική συμβολική απόδειξη. Τέτοια επιχειρήματα είναι τυπικά πιο εύκολα να ελεγχθούν από τα αμιγώς συμβολικά. Πράγματι, πολλοί μαθηματικοί θα εξέφραζαν προτίμηση για μια απόδειξη που όχι μόνο δείχνει την εγκυρότητα ενός θεωρήματος, αλλά επίσης εξηγεί με κάποιο τρόπο ''γιατί'' είναι προφανώς αλήθεια. Σε κάποιες περιπτώσεις μια εικόνα αρκεί για να αποδείξει ένα θεώρημα.