Μαθηματική ανάλυση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η μαθηματική ανάλυση αναπτύχθηκε επίσημα τον 17ο αιώνα κατά την διάρκεια της [[Επιστημονική επανάσταση|Επιστημονικής Επανάστασης]], αλλά πολλές απ΄ τις ιδέες της μπορούν να αναχθούν σε προηγούμενους μαθηματικούς. Νωρίτερα αποτελέσματα στην ανάλυση σιωπηρά παρουσιάστηκαν κατά τις πρώτες ημέρες των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Για παράδειγμα ένα άπειρο γεωμετρικό άθροισμα είναι εμμέσως [[Παράδοξα του Ζήνωνα|παράδοξο της διχοτόμησης του Ζήνωνα]]. Αργότερα, [[Έλληνες μαθηματικοί|'ΕλληνεςΈλληνες μαθηματικοί]] όπως ο [[Εύδοξος ο Κνίδιος|Έυδοξος]] και ο [[Αρχιμήδης]] έκαναν να καταστεί πιο σαφής, αλλά ανεπίσημη, η χρήση των εννοιών των ορίων και της σύγκλισης, όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος της εξάντλησης για να υπολογίσουμε το εμβαδόν και τον όγκο των περιφερειών και των στερεών. Η ρητή χρήση των [[Απειροστά|απειροστών]] εμφανίζεται στον Αρχιμήδη στην [[Μέθοδος Μηχανικών Θεωρημάτων|'Mέθοδο των Μηχανικών Θεωρημάτων']], ένα έργο που ανακαλύφθηκε τον 20ο αιώνα. Στην Ασία ο [[Κινέζοι μαθηματικοί|Κινέζος μαθηματικός]]  [[Liu Hui]] χρησιμοποίησε την μέθοδο εξαντλήσεως τον 3^ο αιώνα μ.Χ για να βρει το εμβαδόν του κύκλου. O [[Zu Chongzhi]] δημιούργησε μία μέθοδο που αργότερα θα ονομαστεί [[Cavalieri's principle|αρχή του Καβαλιέρι]] για να βρεί τον όγκο μίας [[σφαίρα]]ς τον 5 ^ο αιώνα. Ο [[Ινδικά μαθηματικά|Ινδός μαθηματικός]] [[Bhāskara II]] έδωσε παραδείγματα [[παραγώγιση]]ς και χρησιμοποίησε ότι σήμερα είναι γνωστό ως [[θεώρημα του Rolle]] τον 12 ^ο αιώνα.

Επίσης, [[Pathological (mathematics)|"τέρατα"]] ([[πουθενά συνεχείς συναρτήσεις]], [[συνεχείς αλλά πουθενά διαφορίσιμες συναρτήσεις]], [[καμπύλες στον χώρο]]) άρχισαν να διερευνόνταιδιερευνώνται. Στο πλαίσιο αυτό, ο [[Jordan|Τζόρνταν]] ανέπτυξε τη θεωρία του [[θεωρία μέτρου|μέτρου]], ο [[Georg Cantor|Καντόρ]] ανέπτυξε ότι καλείται σήμερα [[θεωρία συνόλων|αφηρημένη θεωρία συνόλων]], και ο [[René-Louis Baire|Baire]] απέδειξε το [[θεώρημα Baire]]. Στις αρχές του 20ου αιώνα,ο λογισμός επισημοποιήθηκε με τη χρήση μιας αξιωματικής [[θεωρία συνόλων|θεωρίας συνόλων]]. O [[Lebesgue]] έλυσε το πρόβλημα του μέτρου, και ο [[Hilbert]] εισήγαγε τους [[χώρος Hilbert|χώρους Hilbert]] για να λύσει [[ολοκληρωτική εξίσωση|ολοκληρωτικές εξισώσεις]]. Η ιδέα του [[μέτρο ενός διανυσματικού χώρου|μέτρου ενός διανυσματικού χώρου]] ήταν στον αέρα, και στη δεκαετία του 1920 ο [[Banach]] δημιούργησε την [[συναρτησιακή ανάλυση]].

Τα πιο συχνά παραδείγματα μετρικών χώρων είναι η [[ευθεία|Πραγματική Ευθεία]], το [[Μιγαδικό επίπεδο|Μιγαδικό Επίπεδο]], ο [[ΕυκλείδιοςΕυκλείδειος χώρος|ΕυκλείδιοςΕυκλείδειος Χώρος]] και οι [[Διανυσματικός χώρος|Διανυσματικοί Χώροι]]. Υπάρχουν όμως και παραδείγματα χώρων χωρίς μετρικές κυρίως στα πεδία της [[Θεωρία μέτρου|Θεωρίας Μέτρου]] και της [[Συναρτησιακή Ανάλυση|Συναρτησιακής Ανάλυσης]].

Οι '''Διαφορικές εξισώσεις''' εξελίσσονται σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, συγκεκριμένα όταν μια καθοριστική σχέση που περιέχει κάποιες συνεχώς μεταβαλλόμενες ποσότητες και τους [[ρυθμός μεταβολής|ρυθμούς μεταβολής]] στον χώρο ή/και τον χρόνο, είναι γνωστή. Αυτό φαίνεται στην [[Κλασική μηχανική|Κλασσική Μηχανική]], όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από την θέση και την [[ταχύτητα]] του ως χρονικές συναρτήσεις. Οι [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|Νόμοι του Νεύτωνα]] επιτρέπουν (δοσμένης της θέσης, [[ταχύτητα]]ςταχύτητας, [[επιτάχυνση]]ς και των διαφόρων [[δύναμη|δυνάμεων]] που ασκούνται σε ένα σώμα) να εκφραστούν αυτές οι ποσότητες δυναμικά ως διαφορικές εξισώσεις για την άγνωστη θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου.

'''Μέτρο''' σε ένα [[σύνολο]], λέμε το συστηματικό τρόπο να εκχωρίσουμεεκχωρήσουμε έναν αριθμό σε κάθε κατάλληλο [[υποσύνολο]] αυτού του συνόλου, διαισθητικά ερμηνεύεται ως το μέγεθος του.Το '''Μέτρο''' δηλαδή είναι γενίκευση των εννοιών του [[μήκος|μήκους]], της [[επιφάνεια (τοπολογία)|επιφάνειας]]ς και του [[όγκος|όγκου]].Ένα πολύ σημαντικό παράδειγμα αποτελεί το [[Μέτρο Λεμπέγκ]] σε έναν [[Ευκλείδιος Χώρος|Ευκλείδιο Χώρο]] που εισάγει το συμβατικό [[μήκος]], [[επιφάνεια]] και [[όγκος|όγκο]] της [[Ευκλείδια Γεωμετρία|Ευκλείδιας Γεωμετρίας]] σε κατάλληλα αντικείμενα σε <math>n</math>-διάστατους Ευκλειδίους Χώρους <math>\mathbb{R}^n</math>. Για παράδειγμα, το [[Μέτρο Λεμπέγκ]] του [[Διάστημα (μαθηματικά)|διαστήματος]] <math>\left[0, 1\right]</math> στους [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς]] είναι 1.