Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στα [[μαθηματικά]], οι '''αριθμοί του Πελ''' είναι μια άπειρη [[ακολουθία]] [[Ακέραιοι αριθμοί|ακεραίων αριθμών]] που είναι γνωστοί απ την αρχαιότητα, οι [[παρονομαστής|παρονομαστές]] της [[πλησιέστερη ορθολογικήρητή προσέγγιση|πλησιέστερης ορθολογικήςρητής προσέγγισης]] στην [[τετραγωνική ρίζα]] του 2. Αυτή η ακολουθία των προσεγγίσεων ξεκινάει 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, και 41/29, έτσι η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 1, 2, 5, 12, και 29. Οι αριθμητές της ίδιας ακολουθίας των προσεγγίσεων είναι το ήμισυ των '''companion αριθμών Πελ''' ή '''αριθμοί των Πελ-Λούκας'''. Αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια δεύτερη άπειρη ακολουθία που ξεκινά με 2, 6, 14, 34, και 82.

[[Image:Pell octagons.svg|thumb|300px|Ορθολογικέςρητές προσεγγίσεις του κανονικού [[Οκτάγωνο|οκταγώνου]] , με συντεταγμένες που προέρχονται από τους αριθμούς Pell.]]

Οι αριθμοί του Πελ προκύπτουν ιστορικά και κυρίως στην [[ορθολογικήρητή προσέγγιση]] της [[Τετραγωνική ρίζα του 2|τετραγωνικής ρίζας του 2]]

<br/> αυτού του τύπου ήταν γνωστή στους Ινδούς μαθηματικούς από τον τρίτο ή τέταρτο αιώνα π.Χ. <ref>Όπως καταγράφεται στο [[Shulba Sutras]]; βλέπε π.χ. Dutka (1986),ο οποίος παραθέτει Thibaut (1875) για αυτήν την πληροφορία.</ref> Οι Έλληνες μαθηματικοί του πέμπτου αιώνα π.Χ. ήξεραν επίσης γι' αυτήν την ακολουθία των προσεγγίσεων: <ref>Βλέπε Knorr (1976) για τον πέμπτο αιώνα, ο οποίος ταιριάζει τον ισχυρισμό του [[Πρόκλος|Πρόκλου]] ότι οι αριθμοί πλευράς και διαμέτρου ανακαλύφθηκαν από τους [[Πυθαγόρειοι|Πυθαγόρειους]].Για πιο λεπτομερή εξερεύνηση της μεταγενέστερης ελληνικής γνώσης αυτών των αριθμών βλέπε Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), and Filep (1999).</ref> Ο Πλάτωνας αναφέρεται στους αριθμητές ως τις '''ορθολογικέςρητές διαμέτρους'''.<ref> Για παράδειγμα, όπως πολλές από τις παραπομπές από το προηγούμενο σημείωμα παρατηρούν, στην [[Πολιτεία του Πλάτωνα]] υπάρχει μια αναφορά στην "ορθολογικήρητή διάμετρο του 5", με την οποία ο [[Πλάτων]] εννοεί 7, τον αριθμητή της προσέγγισης 7/5 της οποίας το 5 είναι ο παρονομαστής.</ref> Τον 2ο αιώνα μ.Χ. ο [[Θέων της Σμύρνης]] χρησιμοποίησε τον όρο '''αριθμοί πλευράς και διαμέτρου''' για να περιγράψει τους παρονομαστές και τους αριθμητές αυτής της ακολουθίας.<ref>{{citation|title=History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid|first=Sir Thomas Little|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1921|isbn=9780486240732|page=112|url=http://books.google.co.uk/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112}}.</ref>

<br/>Όπως ο Knuth (1994) περιγράφει, το γεγονός ότι οι αριθμοί του Πελ με προσέγγιση <math>\scriptstyle\sqrt 2</math> τους επιτρέπει να χρησιμοποιούν για ακριβής ορθολογικέςρητές προσεγγίσεις σε ένα κανονικό [[οκτάγωνο]] με κορυφή τις συντεταγμένες <math>(\pm P_i,\pm P_{i+1})</math> και <math>(\pm P_{i+1},\pm P_i)</math>.Όλες οι κορυφές είναι εξίσου μακριά από την αρχή και αποτελούν σχεδόν ομοιόμορφες γωνίες γύρω από την αρχή. Εναλλακτικά, τα σημεία <math>(\pm(P_i+P_{i-1}),0)</math>, <math>(0,\pm(P_i+P_{i-1}))</math> και <math>(\pm P_i,\pm P_i)</math> αποτελούν κατά προσέγγιση οκτάγωνα όπου οι κορυφές έχουν σχεδόν ίση απόσταση από την αρχή και τις γωνίες να είναι με ενιαία μορφή.

Οι αριθμοί αυτοί είναι όλοι ακόμα. Κάθε τέτοιος αριθμός είναι δύο φορές ο αριθμητής σε μία από τις προσεγγίσεις για την ορθολογικήρητή <math>\scriptstyle\sqrt2</math> που συζητήθηκε παραπάνω.