Κυκλικά δεδομένα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ προστέθηκε η Κατηγορία:Στατιστική θεωρία (με το HotCat) |
Boehm (συζήτηση | συνεισφορές) μ typog |
||
Γραμμή 4:
Οι μετρήσεις κυκλικών δεδομένων εμφανίζουν μια σειρά από ιδιότητες που καθιστούν την αντιμετώπισή τους χαρακτηριστικά διαφορετική από αυτή των συνήθων δεδομένων "γραμμικών" μεταβλητών.
* Το υπό μελέτη χαρακτηριστικό δεν είναι το μέγεθος της παρατήρησης αλλά είτε η κατεύθυνση είτε το χρονικό σημείο μέσα στην περίοδο ενός φαινομένου.
* Η αναπαράσταση
* Λόγω της απεικόνισης των παρατηρήσεων στην περιφέρεια ενός κύκλου, η αρχή και το τέλος του συστήματος αναφοράς συμπίπτουν (0<sup>ο</sup> , 360<sup>ο</sup>) με αποτέλεσμα την εμφάνιση περιοδικότητας.
* Δεν υπάρχει φυσική διάταξη των παρατηρήσεων, καθώς το εάν μια μέτρηση είναι συμβατικά μεγαλύτερη από κάποια άλλη είναι αποτέλεσμα των υποκειμενικών επιλογών που αναφέρθηκαν παραπάνω.
Γραμμή 11:
Η αναπαράσταση των κυκλικών δεδομένων γίνεται κατά μοναδικότητα μέσω δύο συντεταγμένων, είτε ως <math>\vec{u}=(x,y)</math> στο ορθοκανικό σύστημα είτε ως <math>\vec{u}=(r,a)</math> σε πολικές συντεταγμένες. Οι δύο αυτές μορφές εναλλάσσονται μεταξύ τους μέσω των εξής σχέσεων:
[[Αρχείο:Polar-coordinates.svg|μικρογραφία|Συσχέτιση ορθοκανονικών και πολικών συντεταγμένων.]]
<math>\begin{cases} x=
Επειδή δεν απασχολεί το μέγεθος της παρατήρησης, τα διανύσματα θέσης των παρατηρήσεων θεωρούνται συνήθως μοναδιαία <math>(r=1)</math>.
Γραμμή 20:
==== <u>Ορισμός συνισταμένου διανύσματος</u> ====
Έστω <math>(a_1,a_2,
<math>\vec{R}\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \textstyle (\sum_{i=1}^n
Με βάση το συνιστάμενο διάνυσμα ορίζεται ως μέση κατεύθυνση του συνόλου των παρατηρήσεων η κατεύθυνση <math>\bar{a_0}</math>:
<math>\begin{cases} \cos\bar{a_0} = C/R \\ \\sin\bar{a_0}=S/R \end{cases}</math>
Ο ορισμός της '''μέσης κατεύθυνσης''' ως της κατεύθυνσης του συνισταμένου διανύσματος αποδεικνύεται ότι μας επιτρέπει να ξεφύγουμε από την υποκειμενική επιλογή του ορισμού της μηδενικής κατεύθυνσης και της θετικής φοράς περιστροφής.<ref>{{Cite book|title=Topics In Circular Statistics|last=Jammalamadaka; SenGupta|first=S.Rao ; A.|publisher=World Scientific Publishing|year=2001|isbn=978-981-277-926-7|location=Singapore|page=13}}</ref>
Γραμμή 34:
== Κυκλικές Κατανομές ==
Η κυκλική κατανομή πιθανότητας είναι μια κατανομή στην οποία η συνολική πιθανότητα είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια ενός μοναδιαίου κύκλου.
* <math>f(\theta)\geq0,\forall \theta\in [0,2\pi]</math>
* <math>\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle f(\theta)d\theta=1</math>
Γραμμή 47:
Η κατανομή VonMises ίσως είναι η πιο διαδεδομένη κατανομή στα προβλήματα κυκλικών δεδομένων. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητάς της είναι:
<math>f(\theta|\mu,\kappa)= \frac{1}{2\pi I_0(\kappa)}\exp\{ \kappa \cos(\theta-\mu)\}, 0\leq\theta,\mu\leq2\pi,\kappa\geq0,</math>
όπου
Η εν λόγω κατανομή εξαρτάται από τις παραμέτρους <math>\mu,\kappa</math> που είναι αντίστοιχα ενδεικτικές για την θέση και την συγκέντρωση της κατανομής. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι, η VonMises κατανομή ανήκει στην '''[[εκθετική οικογένεια κατανομών]]'''. Η κυκλική κανονική κατανομή είναι το κυκλικό ανάλογο της "γραμμικής" [[Κανονική κατανομή|κανονικής κατανομής]], καθώς είναι συμμετρική γύρω από την μέση κατεύθυνση <math>\mu</math>, όπου εμφανίζει και την μοναδική κορυφή, ενώ για μεγάλες τιμές του <math>\kappa</math> αποδεικνύεται οτι προσεγγίζει την κανονική κατανομή <math>N(\mu,1/\kappa)</math>.
| |||