Ρεύμα πιθανότητας: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
μ (αφαιρέθηκε η Κατηγορία:Φυσική (με το HotCat))
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
Στην μη σχετικιστική κβαντομηχανική, το ρεύμα πιθανότητας, '''j''', μίας [[κυματοσυνάρτηση|κυματοσυνάρτησης]] Ψ ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:
 
: <math> \boldmathbf{j}=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^{*}\boldsymbol{\nabla}\Psi-\Psi\boldsymbol{\nabla}\Psi^{*}) </math>
 
όπου ħ η ανηγμένη [[σταθερά του Πλανκ]], m η [[μάζα]] του σωματιδίου που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση, i η [[φανταστικός αριθμός|φανταστική μονάδα]] και '''∇''' ο [[τελεστής]] [[ανάδελτα]]. Το ρεύμα πιθανότητας είναι μία [[διανυσματική συνάρτηση]], η τιμή της οποίας εν γένει αλλάζει από σημείο σε σημείο στο χώρο, ενώ μπορεί επίσης να μεταβάλλεται και χρονικά ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η κυματοσυνάρτηση Ψ.
Ο λόγος που η ροή πιθανότητας ορίζεται με τον παραπάνω τρόπο είναι διότι, στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε χρονική μεταβολή της συνολικής πιθανότητας θα οφείλεται σε αντίστοιχη συνεισφορά πιθανότητας σύμφωνα με το παρακάτω [[επιφανειακό ολοκλήρωμα]]:
 
: <math> \oint_{\mathcal{S}}\boldmathbf{j}\cdot d\boldmathbf{\mathcal{S}} </math>
 
Η διαπίστωση αυτή οδηγεί στην παρακάτω εξίσωση:
 
: <math> \frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathcal{V}}|\Psi|^2\,d\mathcal{V}=-\oint_{\mathcal{S}}\boldmathbf{j}\cdot d\boldmathbf{\mathcal{S}} </math>
 
Η φυσική σημασία του αρνητικού πρόσημου στο δεξιό μέλος είναι το εξής: Αν το αριστερό μέλος είναι θετικό (αύξηση της συνολικής πιθανότητας), τότε αναγκαστικά το δεξιό μέλος πρέπει να είναι αρνητικό (εισροή πιθανότητας από το περιβάλλον προς τον χώρο που μελετάμε). Το αντίθετο ακριβώς ισχύει στην περίπτωση που το αριστερό μέλος είναι αρνητικό (μείωση της συνολικής πιθανότητας, που συνεπάγεται εκροή πιθανότητας από τον χώρο που μελετάμε προς το περιβάλλον).
Σύμφωνα με το [[θεώρημα της απόκλισης]] όμως, ισχύει ότι:
 
: <math> \oint_{\mathcal{S}}\boldmathbf{j}\cdot d\boldmathbf{\mathcal{S}}=\int_{\mathcal{V}}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldmathbf{j}\,d\mathcal{V} </math>
 
Άρα λοιπόν,
 
: <math> \begin{align} & \frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathcal{V}}|\Psi|^2\,d\mathcal{V}=-\int_{\mathcal{V}}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldmathbf{j}\,d\mathcal{V} \\ & \frac{\partial}{\partial t}\left(|\Psi|^2\right)=-\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldmathbf{j} \\ & \frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldmathbf{j}=0 \end{align} </math>
 
Η τελευταία εξίσωση είναι μία [[εξίσωση συνέχειας]] και εκφράζει μαθηματικά το γεγονός ότι η πιθανότητα είναι ένα διατηρήσιμο μέγεθος. Η εξίσωση αυτή σε συνδυασμό με την [[εξίσωση Σρέντιγκερ]] καθορίζει την ακριβή μαθηματική μορφή που έχει το ρεύμα πιθανότητας.
62

επεξεργασίες