Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο S πρώτων αριθμών. Η ιδέα - κλειδί είναι να θεωρήσουμε το γινόμενο όλων αυτών των αριθμών συν ένα:
 
: <math> N = 1 + \prod_{p\in S} p. </math>.
 
Όπως κάθε άλλος φυσικός αριθμός, ο Ν μπορεί να διαιρεθεί από τουλάχιστον ένα πρώτο αριθμό (είναι πιθανό ο Ν να είναι πρώτος).
Στην απόδειξη του Όιλερ χρησιμοποιείται το άθροισμα των [[αντίστροφος|αντίστροφων]] των πρώτων αριθμών,
 
:<math>S(p) = \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p.</math>.
 
Αυτό το άθροισμα γίνεται μεγαλύτερο από κάθε [[πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] με την προϋπόθεση ότι ο p είναι αρκετά μεγάλος. Αυτό δείχνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί, αφού ειδάλλως αυτό το άθροισμα θα μεγάλωνε μόνο μέχρι να φτάσουμε στο μεγαλύτερο πρώτο αριθμό p. Η αύξηση του S(p) υπολογίζεται από το δεύτερο θεώρημα του Μερσέν. Σε σύγκριση με το παραπάνω άθροισμα, παρατηρούμε ότι το άθροισμα
Ανώνυμος χρήστης