Φυσικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Αρκετοί [[Φυσικός αριθμός|ορισμοί των φυσικών αριθμών]] αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Με τους ορισμούς αυτούς ήταν βολικό να περιλαμβάνεται το 0 (που αντιστοιχεί στο [[Σύνολο|κενό σύνολο]]) ως ένα φυσικός αριθμός. Το να συμπεριλαμβάνεται και το 0 είναι πλέον η κοινή σύμβαση μεταξύ των επιστημόνων της βασικής θεωρίας , της λογικής και της [[πληροφορική]]ς. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί περιλαμβάνουν επίσης το 0, αν και ορισμένοι έχουν διατηρήσει την παλαιότερη παράδοση και λαμβάνουν ότι το 1 είναι ο πρώτος φυσικός αριθμός. <ref>This is common in texts about [[Real analysis]]. See, for example, Carothers (2000) p.3 or Thomson, Bruckner and Bruckner (2000), p.2.</ref> Μερικές φορές, το σύνολο των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός καλείται σύνολο ακεραίων αριθμών ή μετρήσιμων αριθμών. Από την άλλη πλευρά, ο ακέραιος στα λατινικά για το «σύνολο», είναι οι [[ακέραιοι]] που συνήθως υφίστανται για τους αρνητικούς και θετικούς ακέραιους αριθμούς (και το 0) μαζί.

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν '''N''' ή <math>\mathbb{N}</math> (Ένα N στο μαυροπίνακα, εμφανίζεται ως {{unicode|ℕ}} σε [[Unicode]]) για να αναφερθούν στο [[σύνολο]] των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο είναι αριθμητικά άπειρο: είναι [[άπειρο]] αλλά [[Μέτρηση|μετρήσιμο]] εξ ορισμού. Αυτό εκφράζεται επίσης λέγοντας ότι ο [[Φυσικός αριθμός|απόλυτος αριθμός ]] του συνόλου είναι [[Aleph number#Aleph-null|aleph-null]] <math>(\aleph_0)</math>.<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>

:*3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} ={{&nbsp;}, {{&nbsp;}}, {{&nbsp;}}, {{&nbsp;}}