Πρώτος αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός ''n'' είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n. Οι αλγόριθμοι που είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τη δοκιμαστική διαίρεση έχουν επινοηθεί για να ελέγχουμε αν μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι. Ιδιαίτερα γρήγορες μέθοδοι είναι διαθέσιμες για αριθμούς ειδικών μορφών, όπως είναι [[Πρώτος Μερσέν|αριθμοί Μερσέν]]. Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός από τον Δεκέμβριο του 2018 είναι ο M82589933 με 24.862.048 ψηφία.

 

 

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της [[θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]] και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των [[μαθηματικά|μαθηματικών]]. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η εικασία του Ρίμαν, η [[εικασία του Γκόλντμπαχ]], η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων και η εικασία των [[δίδυμοι πρώτοι αριθμοί|διδύμων πρώτων]], η οποία λέει ότι υπάρχουν άπειρα σε πλήθος ζευγάρια πρώτων των οποίων η διαφορά είναι 2. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην [[Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού]], η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην [[άλγεβρα]], όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων.