Θεωρία συνόλων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Ρομπότ: λατινικοί -> ελληνικοί χαρακτήρες, αντικατέστησε: Aν → Αν |
||
Γραμμή 8:
Στα [[μαθηματικά]], '''Θεωρία Συνόλων''' ή '''Συνολοθεωρία''' είναι η [[θεωρία]] που μελετάει τα [[σύνολο|σύνολα]] και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η Θεωρία Συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. '''Άτυπα''' μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η Θεωρία Συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμωλιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "'''ανήκειν'''" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με '''є'''. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η Θεωρία Συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά.
Η σύγχρονη μελέτη της Θεωρίας Συνόλων ξεκίνησε από τον [[Γκέοργκ Κάντορ]] (Georg Cantor) και τον [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ|Ντέντεκιντ]] (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Άρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των '''κατηγορικών ιδιοτήτων.''' Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται '''Γενική Αρχή Συμπερίληψης'''). Αυτή η αρχική μορφή της Θεωρίας Συνόλων ονομάζεται Άτυπη (ή Διαισθητική) Θεωρία Συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην Άτυπη Θεωρία Συνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα από συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία είναι αυτό των [[Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων|Ζερμέλο-Φράνκελ]] (Zermelo–Fraenkel), μαζί με το [[αξίωμα επιλογής|Αξίωμα της Επιλογής]] , γνωστό και ως '''ZFC.'''
Η Θεωρία Συνόλων, ειδικά το σύστημα ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα για την θεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι [[συνάρτηση|συναρτήσεις]], και έννοιες της Συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα των τμημάτων των Μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με την χρήση των [[διάγραμμα Venn|διαγράμματων Βεν]], για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η [[Ένωση συνόλων|ένωση]] και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η [[πληθάριθμος|πληθικότητα]] είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος των Μαθηματικών Σχολών.
| |||