Κλάσμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→Ισοδύναμα Κλάσματα - Ανάγωγο Κλάσμα: 1/2,3/4,12/5,129,345,12345/564,4563/4563,30/102,123/345 Ετικέτες: Αναιρέθηκε αφαιρέθηκαν παραπομπές Οπτική επεξεργασία |
μ Αναστροφή της επεξεργασίας από τον 62.228.8.203 (συνεισφ.), επιστροφή στην τελευταία εκδοχή υπό Deskar Ετικέτα: Επαναφορά |
||
Γραμμή 1:
[[Αρχείο:Fraction in greek.svg|thumb|right|Τα κλάσματα]]
[[Αρχείο:Cake quarters.svg|thumb|right|Παράδειγμα κλασμάτων σε μία τούρτα]]
Το '''Κλάσμα''' στα μαθηματικά αναπαριστά ένα κομμάτι του όλου (δηλαδή ενός ολόκληρου αντικειμένου), ή πιο γενικά έναν αριθμό ίσων κομματιών. Επίσης εκφράζει τον [[Λόγος (μαθηματικά)|λόγο]] δύο μεγεθών, στον οποίο , αντί για μια συγκριτική συσχέτιση μεταξύ ποσοτήτων.<ref>(Gellert, W. (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics.</ref> Αποτελείται από δυο τμήματα, τον ''αριθμητή'' που βρίσκεται πάνω από τη ''γραμμή κλάσματος'' και τον ''παρονομαστή'' που βρίσκεται στο κάτω μέρος· ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται ''όροι του κλάσματος''. Οι όροι μπορεί να είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθμοί, θετικοί ή αρνητικοί, με μοναδικό περιορισμό ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι [[μηδέν]]. Το κλάσμα ουσιαστικά είναι μια μορφή [[μαθηματική αναπαράσταση|αναπαράστασης]] του πηλίκου της [[διαίρεση]]ς δυο αριθμών, του αριθμητή δια του παρονομαστή. Έτσι, μπορεί η [[αριθμητική τιμή|αριθμητική του τιμή]] να ισούται με έναν [[ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] ή έναν [[δεκαδικός αριθμός|δεκαδικό αριθμό]]. Το κλάσμα είναι [[ρητός αριθμός]]. Το σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα το οποίο για όρους έχει δυο άλλα κλάσματα.
Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την [[πρόσθεση]] και την [[αφαίρεση]], όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ''ομώνυμα'', δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που επιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]] τους. Ο [[πολλαπλασιασμός]] γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η [[διαίρεση]] μέσω της [[απλοποίηση σύνθετου κλάσματος|απλοποίησης σύνθετου κλάσματος]] ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το
== Ορολογία ==
▲Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την [[πρόσθεση]] και την [[αφαίρεση]], όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ''ομώνυμα'', δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που επιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]] τους. Ο [[πολλαπλασιασμός]] γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η [[διαίρεση]] μέσω της [[απλοποίηση σύνθετου κλάσματος|απλοποίησης σύνθετου κλάσματος]] ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το δΜ
=== Ισοδύναμα Κλάσματα - Ανάγωγο Κλάσμα ===
Δύο διαφορετικά κλάσματα είναι δυνατόν να εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα. Για παράδειγμα τα κλάσματα <math>\frac{1}{2}</math> και <math>\frac{2}{4}</math> εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα (το μισό της μονάδας). Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό με το παράδειγμα της τούρτας. Στην πρώτη περίπτωση, το κλάσμα <math>\frac{1}{2}</math> εκφράζει το γεγονός ότι κόψαμε την τούρτα σε δύο κομμάτια, αλλά πήραμε το ένα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση κόψαμε την τούρτα σε 4 κομμάτια και πήραμε τα δύο. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε με την ίδια ποσότητα τούρτας. Αυτού του είδους τα κλάσματα λέγονται '''ισοδύναμα κλάσματα'''. Είναι προφανές για κάθε κλάσμα μπορούμε να βρούμε άπειρα άλλα που να είναι ισοδύναμα με αυτό. Ακολουθώντας το προηγούμενο παράδειγμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι όλα τα κλάσματα <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6},\dots, \frac{100}{200}, \dots</math> είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Για αυτό το λόγο ορίζουμε το λεγόμενο '''[[ανάγωγο κλάσμα]]'''. Ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από τη μονάδα (είναι δηλαδή [[Σχετικά πρώτοι|πρώτοι μεταξύ τους]]). Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ανάγωγο με τη διαδικασία της απλοποίησης. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το [[Μέγιστος κοινός διαιρέτης|Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη]] τους. Για παράδειγμα το κλάσμα <math>\frac{6}{15}</math> δεν είναι ανάγωγο αφού ΜΚΔ(6,15)=3. Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμό 3 προκύπτει το κλάσμα <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>. Το κλάσμα <math>\frac{2}{5}</math> είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα και είναι ανάγωγο.
| |||