Ροπή αντίστασης

Ροπή αντίστασης (section modulus: μέτρο αντίστασης διατομής) είναι μία γεωμετρική ιδιότητα δεδομένης διατομής, που χρησιμοποιείται κατά το σχεδιασμό δοκών ή καμπτόμενων μελών γενικότερα. Άλλες γεωμετρικές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό, περιλαμβάνουν τις επιφάνειες εφελκυσμού και διάτμησης, την ακτίνα αδράνειας για θλιβόμενα στοιχεία, τη ροπή αδράνειας καθώς και την πολική ροπή αδράνειας για τη δυσκαμψία (συγκεκριμένα δυστρεψία όσον αφορά τη στρέψη). Κάθε σχέση ανάμεσα σε αυτές τις ιδιότητες εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το σχήμα. Οι εξισώσεις για τις ροπές αντίστασης κοινών σχημάτων διατομής δίνονται παρακάτω. Υπάρχουν δύο τύποι ροπών αντίστασης, η ελαστική (S) και η πλαστική (Z). Η ροπή αντίστασης μπορεί επίσης να ληφθεί με αριθμητικές τιμές για τα κοινά προφίλ, στους πίνακες ιδιοτήτων διατομών.

Σημειογραφία Επεξεργασία

Η βορειομερικάνικη και η Βρετανική/Αυστραλιανή σύμβαση κάνουν αντίστροφη χρήση των S & Z. Η ελαστική ροπή αντίστασης συμβολίζεται με S στη Βόρεια Αμερική,^[1] αλλά με Z στη Βρετανία/Αυστραλία,^[2] και αντιστρόφως για τις πλαστικές ροπές. Ο ευρωκώδικας 3 (EN 1993 - Σχέδιο Χάλυβα) το επιλύει αυτό, χρησιμοποιώντας το W και για τα δύο, αλλά διακρίνει μεταξύ τους με τη χρήση δείκτες - W_ελ και W_pl.

Ελαστική ροπή αντίστασης Επεξεργασία

Για γενικό σχεδιασμό χρησιμοποιείται η ελαστική ροπή, η οποία εφαρμόζεται μέχρι το σημείο διαρροής για τα περισσότερα μέταλλα και άλλα κοινά υλικά.

Η ελαστική ροπή της διατομής ορίζεται ως S = I / y, όπου I είναι η δευτεροβάθμια ροπή επιφάνειας (ή ροπή αδράνειας) και y είναι η απόσταση από τον ουδέτερο άξονα μέχρι κάθε ίνα. Συχνά γίνεται αναφορά με y = c, όπου c είναι η απόσταση από τον ουδέτερο άξονα ως τις πιο ακραίες ίνες, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. Επίσης συχνά χρησιμοποιείται για να καθορίσει την ροπή διαρροής (M_y) τέτοια ώστε M_y = S × σ_y, όπου σ_y είναι το όριο διαρροής του υλικού. Η ελαστική ροπή αντίστασης μπορεί επίσης να οριστεί ως η πρωτοβάθμια ροπή επιφάνειας.

Εξισώσεις ροπών αντίστασης^[3]
Σχήμα διατομής	Εξίσωση	Σχόλιο
Ορθογωνική	$S={\cfrac {bh^{2}}{6}}$	Συμπαγές βέλος αναπαριστά ουδέτερο άξονα
Διατομές διπλής συμμετρίας τύπου I (ισχυρός άξονας)	$Sx={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$ $Sx={\tfrac {Ix}{y}}$ , με $y={\cfrac {H}{2}}$	NA αναπαριστά ουδέτερο άξονα (neutral axis)
Διατομές διπλής συμμετρίας τύπου I (ασθενής άξονας)	$Sy={\cfrac {B^{2}(H-h)}{6}}+{\cfrac {(B-b)^{3}h}{6B}}$	NA αναπαριστά ουδέτερο άξονα (neutral axis)
Κυκλική	$S={\cfrac {\pi r^{3}}{4}}={\cfrac {\pi d^{3}}{32}}$ ^[3]	Συμπαγές βέλος αναπαριστά ουδέτερο άξονα
Κυκλική κοίλη διατομή	$S={\cfrac {\pi \left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}{4r_{2}}}={\cfrac {\pi (d_{2}^{4}-d_{1}^{4})}{32d_{2}}}$	Συμπαγές βέλος αναπαριστά ουδέτερο άξονα
Ορθογωνική κοίλη	$S={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$	NA αναπαριστά ουδέτερο άξονα (neutral axis)
Ρόμβος	$S={\cfrac {BH^{2}}{24}}$	NA αναπαριστά ουδέτερο άξονα (neutral axis)
Τύπου C	$S={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$	NA αναπαριστά ουδέτερο άξονα (neutral axis)

Πλαστική ροπή αντίστασης Επεξεργασία

Η πλαστική ροπή αντίστασης χρησιμοποιείται για υλικά όπου η ελαστική διαρροή είναι αποδεκτή και η πλαστική συμπεριφορά θεωρείται ως ένα αποδεκτό όριο. Ο σχεδιασμός γενικά αποσκοπεί στην παραμονή κάτω από το πλαστικό όριο κατά το έσχατο στάδιο, για την αποφυγή μόνιμων παραμορφώσεων, συχνά συγκρίνοντας την πλαστική ικανότητα έναντι μεγεθυμένων δυνάμεων ή πιέσεων.

Η πλαστική ροπή αντίστασης εξαρτάται από τη θέση του το πλαστικού ουδέτερου άξονα (ΠΟΑ). Ο ΠΟΑ ορίζεται ως ο άξονας που χωρίζει την διατομή έτσι ώστε η θλιπτική δύναμη στη θλιβόμενη περιοχή να ισούται με την εφελκυστική δύναμη στην εφελκυόμενη περιοχή. Έτσι, για διατομές με σταθερή τάση διαρροής, οι επιφάνειες πάνω και κάτω από τον ΠΟΑ θα είναι ίσες, αλλά για σύμμικτες διατομές αυτό δε θα ισχύει απαραίτητα.

Η πλαστική ροπή αντίστασης θα είναι τότε το άθροισμα των εμβαδών σε κάθε πλευρά του ΠΟΑ (που μπορεί να είναι ή και να μην είναι ίσα) πολλαπλασιασμένα με την απόσταση από τα τοπικά κεντροειδή (κέντρα βάρους) των δύο περιοχών στον ΠΟΑ:

Περιγραφη	Εικόνα	Εξίσωση	Σχόλιο
Ορθογωνική		$Z_{P}={\cfrac {bh^{2}}{4}}$ ^[4]^[5]	$A_{C}=A_{T}={\cfrac {bh}{2}}$ , $y_{C}=y_{T}={\cfrac {h}{4}}$
Ορθογωνική κοίλη	$Z_{P}={\cfrac {bh^{2}}{4}}-(b-2t)({\cfrac {h}{2}}-t)^{2}$	όπου: b=πλάτος, h=ύψος, t=πάχος τοιχωμάτων
Για τα δύο πέλματα διατομής I ^[6] εξαιρώντας τον κορμό	$Z_{P}=b_{1}t_{1}y_{1}+b_{2}t_{2}y_{2}\,$	όπου: $b_{1},b_{2}$ = πλάτη, $t_{1},t_{2}$ = πάχη, $y_{1},y_{2}$ οι αποστάσεις από τον ουδέτερο άξονα έως το αντίστοιχων πελμάτων.
Για στοιχείο I συμπεριλαμβανομένου του κορμού	$Z_{P}=bt_{f}(d-t_{f})+0.25t_{w}(d-2t_{f})^{2}$	^[7]
Για στοιχείο I (ασθενής άξονας)	$Z_{P}=(b^{2}t_{f})/2+0.25t_{w}^{2}(d-2t_{f})$
Συμπαγής κυκλική	$Z_{P}={\cfrac {d^{3}}{6}}$
Κοίλη Κυκλική	$Z_{P}={\cfrac {d_{2}^{3}-d_{1}^{3}}{6}}$

Η πλαστική ροπή αντίστασης χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί η ροπή πλαστικοποίησης (ή απλώς πλαστική ροπή), M_p, δηλαδή η πλήρης καμπτική ικανότητα της διατομής. Οι δύο όροι σχετίζονται με την δύναμη διαρροής του υλικού, F_y, M_p=F_y*Z. Η πλαστική ροπή αντίστασης και η ελαστική ροπή αντίστασης, συσχετίζονται με το συντελεστή σχήματος που μπορεί να συμβολίζεται με "k" και χρησιμοποιείται ως ένδειξη της ικανότητας μετά το ελαστικό όριο (διαρροή) του υλικού. Αυτό μπορεί να δειχθεί μαθηματικά με τον τύπο :-

$k={\cfrac {Z}{S}}$

Ο συντελεστής σχήματος για μια ορθογωνική διατομή είναι 1.5.

Χρήση στη δομική μηχανική Επεξεργασία

Αν και γενικά η ροπή αντίστασης υπολογίζεται για την ακραία εφελκυστική ή θλιπτική ίνα σε ένα καμπτόμενο στοιχείο, συχνά η θλιβόμενη περιοχή δημιουργεί την κρίσιμη περίπτωση, λόγω ενεργοποίησης φαινομένων καμπτοστρεπτικού λυγισμού. Γενικά (εκτός από ψαθυρά υλικά όπως το σκυρόδεμα) οι ακραίες εφελκυόμενες ίνες έχουν μια υψηλότερη επιτρεπόμενη πίεση ή αντοχή από τις θλιβόμενες ίνες.

Στην περίπτωση διατομών σχήματος T, αν υπάρχουν εφελκυόμενες ίνες στο κάτω μέρος του T μπορεί να είναι ακόμα πιο κρίσιμες από τις θλιβόμενες ίνες στο πάνω τμήμα εξαιτίας μιας γενικά πολύ μεγαλύτερης απόστασης από τον ουδέτερο άξονα, έτσι ώστε παρά το γεγονός ότι έχουν μια υψηλότερη επιτρεπόμενη τάση η ελαστική ροπή αντίστασης είναι χαμηλότερη. Σε αυτή την περίπτωση καμπτοστρεπτικού λυγισμού, πρέπει ακόμα να αξιολογηθεί το μήκος της δοκού και οι δεσμεύσεις, που μπορεί να οδηγήσουν σε μειωμένη επιτρεπόμενη θλιπτική τάση λόγω κάμψης ή μειωμένη αντοχή.

Μπορεί επίσης να υπάρχει μια σειρά από διαφορετικές κρίσιμες περιπτώσεις που απαιτούν προσοχή, όπως το να υπάρχουν διαφορετικές τιμές για τους ορθογώνιους και τους κύριους άξονες και στην περίπτωση διατομών γωνιακών με άνισα τμήματα (πέλματα) στους κύριους άξονες, υπάρχει μια ροπή αντίστασης για κάθε γωνία.

Για ένα συντηρητικό (υπέρ της ασφάλειας) σχεδιασμό, οι μελετητές πολιτικοί μηχανικοί συχνά ανησυχούν για το συνδυασμό του υψηλότερου φορτίου (εφελκυστικού ή θλιπτικού) και της χαμηλότερης ελαστικής ροπής αντίστασης για ένα δεδομένο τμήμα του στοιχείου, αν και στην περίπτωση που η φόρτιση είναι καλά κατανοητή μπορεί κανείς να επωφεληθεί από τις διαφορετικές τιμές για εφελκυσμό και θλίψη, ώστε να πετύχει πιο αποδοτικό (οικονομικό) σχεδιασμό. Σε αεροναυπηγικές και διαστημικές εφαρμογές όπου ο σχεδιασμός πρέπει να είναι πολύ λιγότερο συντηρητικός για την εξοικονόμηση βάρους, συχνά απαιτούνται κατασκευαστικές δοκιμές για να εξασφαλιστεί η ασφάλεια, μιας και η εξάρτηση από τη δομική ανάλυση και μόνον είναι πιο δύσκολη (και ακριβή) για να πιστοποιηθεί.

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Θεωρία δοκών
Λίστα με ροπές αδράνειας
Δευτεροβάθμια ροπή επιφάνειας

Αναφορές Επεξεργασία

↑ Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, Illinois: American Institute of Steel Construction, Inc. 2010. σελ. 16.1–xxxiv. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 13 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 17 Νοεμβρίου 2016.
↑ AS4100 - Steel Structures. Sydney, Australia: Standards Australia. 1998. σελ. 21.
↑ ^3,0 ^3,1 Gere, J. M. and Timoshenko, S., 1997, Mechanics of Materials 4th Ed., PWS Publishing Co.
↑ «Αρχειοθετημένο αντίγραφο». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Νοεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 17 Νοεμβρίου 2016.
↑ Young, Warren C. (1989). Roark's Formulas for Stress and Strain. McGraw Hill. σελ. 217.
↑ American Institute of Steel Construction: Load and Resistance Factor Design, 3rd Edition, pp. 17-34.
↑ Megson, T H G (2005). Structural and stress analysis. elsever. σελίδες 598 EQ (iv).

External links Επεξεργασία

http://www.engineersedge.com/material_science/section_modulus_12893.htm - Section Modulus Equations and Calculators
http://www.engineeringtoolbox.com/american-wide-flange-steel-beams-d_1318.html - List of section moduli for common beam shapes
http://academics.triton.edu/faculty/fheitzman/propertiesofsections.html - Properties of Sections From Triton college
http://civilengineer.webinfolist.com/str/micalc.htm - Online Calculator for Geometric Properties of Sections
http://www.amesweb.info/SectionalPropertiesTabs/SectionalPropertiesHollowCircle.aspx Αρχειοθετήθηκε 2016-12-01 στο Wayback Machine. - SECTIONAL PROPERTIES CALCULATOR - HOLLOW CIRCLE

[1] Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, Illinois: American Institute of Steel Construction, Inc. 2010. σελ. 16.1–xxxiv. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 13 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 17 Νοεμβρίου 2016.

[2] AS4100 - Steel Structures. Sydney, Australia: Standards Australia. 1998. σελ. 21.

[Timo-3] 3,0 ^3,1 Gere, J. M. and Timoshenko, S., 1997, Mechanics of Materials 4th Ed., PWS Publishing Co.

[4] «Αρχειοθετημένο αντίγραφο». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Νοεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 17 Νοεμβρίου 2016.

[5] Young, Warren C. (1989). Roark's Formulas for Stress and Strain. McGraw Hill. σελ. 217.

[6] American Institute of Steel Construction: Load and Resistance Factor Design, 3rd Edition, pp. 17-34.

[7] Megson, T H G (2005). Structural and stress analysis. elsever. σελίδες 598 EQ (iv).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]