Ροπή αδράνειας επιφάνειας

Ροπή αδράνειας επιφάνειας ονομάζεται το όριο της ροπής αδράνειας ενός λεπτόφυλλου σώματος που το πάχος του τείνει στο μηδέν και έχει ομοιόμορφη μάζα.

Ροπή αδράνειας μιας στοιχειώδους επιφάνειας ως προς ένα άξονα που περιέχεται στο επίπεδο της ονομάζεται το γινόμενο του εμβαδού της επί το τετράγωνο της απόστασης της από τον άξονα. Το άθροισμα των στοιχειωδών ροπών αδράνειας όλων των στοιχειωδών επιφανειών που αποτελούν μια επιφάνεια ισούται με τη ροπή αδράνειας ή δευτεροβάθμια ροπή της επιφάνειας προς τον άξονα. Η ροπή αδράνειας ως προς ένα άξονα x συμβολίζεται με Ixx ή απλούστερα Ix. Οι μονάδες μέτρησης είναι μονάδες μήκους στην τέταρτη δύναμη.

$I_{x}=\int _{A}y^{2}\,\mathrm {d} A$

ή

$I_{x}=\iint _{A}y^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

$\mathrm {d} A:$ Η στοιχειώδης επιφάνεια.

$x:$ Ο άξονας ως προς τον οποίο υπολογίζεται η ροπή αδράνειας.

$y:$ Η απόσταση της στοιχειώδους επιφάνειας από τον άξονα x.

Θεώρημα παράλληλων αξόνων (Θεώρημα Steiner)

Αν x' είναι ένας άξονας που περνάει από το κέντρο βάρους της επιφάνειάς και x ένας άξονας παράλληλος με αυτόν η σχέση που συνδέει τις ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες είναι:

$I_{x}=I_{x'}+Ad_{y}^{2}$

Όπου:

$A:$ Το εμβαδόν της επιφάνειας.

$d_{y}:$ Η κάθετη απόσταση μεταξύ των αξόνων x και x'.

Το θεώρημα Steiner δεν ισχύει μεταξύ τυχαίων παράλληλων αξόνων. Θα πρέπει ο ένας άξονας να είναι κεντροβαρικός.

Παράδειγμα

Στο σχήμα εικονίζεται ορθογώνιο με πλάτος b και ύψος h. Το σύστημα αξόνων έχει ως αρχή το κέντρο βάρους και άξονες παράλληλους με τις πλευρές του ορθογωνίου. Οι ροπές αδράνειας της επιφάνειας προς τον άξονα x και y συμβολίζονται με Ix και Iy αντίστοιχα.

$I_{x}=\int _{A}y^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-h/2}^{h/2}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-b/2}^{b/2}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}$

$I_{y}=\int _{A}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-h/2}^{h/2}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-b/2}^{b/2}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {hb^{3}}{12}}$

Πηγές

• Παναγιώτης Α. Βουθούνης Τεχνική μηχανική αντοχή των υλικών, Αθήνα, 1993
• Γ.Ι. Τσαμασφύρος Μηχανική παραμορφώσιμων σωμάτων Τόμος Ι και ΙΙ, 1990 Εκδόσεις Συμμετρία