Εικοστό τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ
Το εικοστό τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ[1] είναι το τελευταίο από τα προβλήματα του Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Σε αντίθεση με τα άλλα 22 προβλήματα του Χίλμπερτ, το 23ο δεν είναι τόσο ένα συγκεκριμένο «πρόβλημα» όσο μια ενθάρρυνση προς την περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών. Η εκφώνηση του προβλήματός του είναι μια περίληψη της κατάστασης (το 1900) της θεωρίας του λογισμού των μεταβολών, με κάποια εισαγωγικά σχόλια που καταγγέλλουν την έλλειψη εργασίας που είχε γίνει για τη θεωρία στα μέσα και τα τέλη του 19ου αιώνα.
Αρχική διατύπωση
ΕπεξεργασίαΗ δήλωση του προβλήματος αρχίζει με την ακόλουθη παράγραφο:
Μέχρι στιγμής, έχω αναφερθεί σε γενικά προβλήματα τόσο συγκεκριμένα και ειδικά όσο το δυνατό..... Παρά ταύτα, θα ήθελα να κλείσω με ένα γενικό πρόβλημα, δηλαδή με την ένδειξη ενός κλάδου των μαθηματικών που αναφέρθηκε επανειλημμένα σε αυτή τη διάλεξη - ο οποίος, παρά τη σημαντική πρόοδο που του έδωσε πρόσφατα ο Βάιερστρας, δεν λαμβάνει τη γενική εκτίμηση που, κατά τη γνώμη μου, του αναλογεί - εννοώ τον λογισμό των μεταβολών[2]
Λογισμός των μεταβολλών
ΕπεξεργασίαΚύριο άρθρο: Λογισμός των μεταβολών
Ο λογισμός των μεταβολών είναι ένας τομέας της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων, οι οποίες είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά εκφράζονται συχνά ως οριστικά ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις και τις παραγώγους τους. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στις ακραίες συναρτήσεις που κάνουν τη συνάρτηση να επιτυγχάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή - ή στις στάσιμες συναρτήσεις - εκείνες όπου ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης είναι μηδέν.
Πρόοδος
ΕπεξεργασίαΜετά τη διατύπωση του προβλήματος, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, η Έμι Νέτερ, ο Λεονίντα Τονέλι, ο Ανρί Λεμπέσγκ, και ο Ζακ Ανταμάρ μεταξύ άλλων συνέβαλαν σημαντικά στον λογισμό των μεταβολών.[3] Ο Μάρστον Μορς εφάρμοσε τον λογισμό των μεταβολών σε αυτό που σήμερα ονομάζεται θεωρία Μορς.[4] Ο Λεβ Ποντριάγκιν, ο Ραλφ Ροκαφέλαρ και ο Φ. Χ. Κλαρκ ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για τον λογισμό των μεταβολών στη θεωρία του βέλτιστου ελέγχου. Ο δυναμικός προγραμματισμός του Ρίτσαρντ Μπέλμαν είναι μια εναλλακτική λύση στον λογισμό των λογισμό των μεταβολών.[5][6][7]
Κάθε μαθηματικός που αναφέρθηκε έφερε μια μοναδική προοπτική και εμπλούτισε τον τομέα με καινοτόμες ιδέες. Παραδείγματος χάριν, η θεωρία του Μάρστον Μορς άνοιξε νέους δρόμους στη διαφορική τοπολογία, ενώ το έργο του Ποντριάγκιν ήταν θεμελιώδες για την ανάπτυξη της σύγχρονης θεωρίας ελέγχου. Οι συνεισφορές αυτές όχι μόνο εμβάθυναν τη θεωρητική μας κατανόηση, αλλά βρήκαν και πρακτικές εφαρμογές που συνεχίζουν να επηρεάζουν την έρευνα και την καινοτομία σήμερα.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
- Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
- Proof of Dehn's Theorem at Everything2
- Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
- Dehn Invariant at Everything2
- Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΒιβλιογραφία
Επεξεργασία- Roselló, Joan (1 Φεβρουαρίου 2019). Hilbert, Göttingen and the Development of Modern Mathematics. Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-5275-2762-1.
- Giannessi, Franco· Maugeri, Antonino (6 Μαρτίου 2007). Variational Analysis and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-24276-7.
- Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1279-4.
- Hemmen, Jan Leonard· Sejnowski, Terrence J. (2006). 23 Problems in Systems Neuroscience. Oxford University Press, USA. ISBN 978-0-19-514822-0.
- Boyer, Carl B.· Merzbach, Uta C. (11 Ιανουαρίου 2011). A History of Mathematics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-52548-7.
- Matii︠a︡sevich, I︠U︡riĭ V. (1993). Hilbert's Tenth Problem. MIT Press. ISBN 978-0-262-13295-4.
- Stakhov, Alexey· Aranson, Samuil (14 Ιουλίου 2016). "Golden" Non-euclidean Geometry, The: Hilbert's Fourth Problem, "Golden" Dynamical Systems, And The Fine-structure Constant. World Scientific. ISBN 978-981-4678-31-5.
- Sack, Warren (9 Απριλίου 2019). The Software Arts. MIT Press. ISBN 978-0-262-03970-3.
- Yandell, Ben (12 Δεκεμβρίου 2001). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6422-7.
- Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. (31 Δεκεμβρίου 2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-61444-216-5.
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ «Hilbert problems - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 14 Δεκεμβρίου 2024.
- ↑ Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
- ↑ van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.
- ↑ Ferguson, James (2004). «Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications». .
- ↑ Dimitri P Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
- ↑ Bellman, Richard E. (1954). «Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations». Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. doi:. PMID 16589462. Bibcode: 1954PNAS...40..231B.
- ↑ Kushner, Harold J. (2004). «Richard E. Bellman Control Heritage Award». American Automatic Control Council. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2018-10-01. https://web.archive.org/web/20181001032837/http://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award. Ανακτήθηκε στις 2013-07-28. See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."
- Stampacchia, Guido (1976). «Hilbert's Twenty-Third Problem: Extension of the Calculus of Variations». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 611–628. ISBN 0-8218-1428-1.
- Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
- Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
- Sigalov, A. G. (1969), «On Hilbert's nineteenth and twentieth problems», Hilbert's Problems, Moscow: Izdat. “Nauka”, σελ. 204–215.
Πηγές
Επεξεργασία- Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}.
- «Hilbert's 23 problems | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024.
- «David Hilbert's 24 Problems». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024.
- Hemmen, Jan Leonard· Sejnowski, Terrence J. (2006). 23 Problems in Systems Neuroscience. Oxford University Press, USA. ISBN 978-0-19-514822-0.
- «The Hilbert Problems» (PDF).