Ηλεκτρονικά ισχύος

Ηλεκτρονικά ισχύος είναι τα ηλεκτρονικά συστήματα τα οποία διαχειρίζονται την ηλεκτρική ισχύ και μετατρέπουν την τάση ,την ένταση και την κυματομορφή του ρεύματος κατά τρόπο , ώστε να μπορεί να αξιοποιηθεί από τα συστήματα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας για την μεταφορά ,την διανομή ,την αποθήκευση και την κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας. Τα ηλεκτρονικά συστήματα ισχύος μπορούν να κάνουν τις παρακάτω μετατροπές:

• Μετατροπή του συνεχούς σε συνεχές , διαφορετικής τάσης και έντασης ( Μετατροπείς DC-DC )
• Μετατροπή του εναλλασσόμενου σε συνεχές (Μετατροπείς AC-DC ή ανορθωτικές διατάξεις)
• Μετατροπή του εναλασσόμενου σε εναλασσόμενο διαφορετικού πλάτους(Ρυθμιστές AC-AC ή Μετασχηματιστές)
• Μετατροπή του συνεχούς σε εναλλασσόμενο (Μετατροπείς DC-AC ή αντιστροφείς)

Πλακέτα που περιλαμβάνει μετατροπέα συνεχούς σε συνεχές(step down Converter)

Οι μετατροπές αυτές επιτυγχάνονται με την βοήθεια ηλεκτρονικών διατάξεων οι οποίες χρησιμοποιούν ηλεκτρονικούς διακόπτες (τρανζίστορ ισχύος, διόδους ισχύος, Θυρίστορς, MOSFET ισχύος κ.α),των οποίων η λειτουργία καθορίζεται από την θεωρία των ημιαγωγών στερεάς κατάστασης , την θεωρία των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, την θεωρία ελέγχου, την ηλεκτρομαγνητική θεωρία και την θεωρία μεταφοράς θερμότητας.

Ο αντικειμενικός στόχος των ηλεκτρονικών ισχύος είναι να αντιστοιχίζουν τις δυνατότητες του συστήματος παραγωγής ισχύος στις απαιτήσεις της κατανάλωσης για την ποιότητα και την ποσότητα της ενέργειας κατά τον βέλτιστο δυνατό τρόπο.

Τα ηλεκτρονικά ισχύος είναι αναπόσπαστο τμήμα των συστημάτων ΑΠΕ (Ανανεώσιμων Πηγών Ενέργειας) και αποτελούν το ενδιάμεσο τμήμα ανάμεσα στα συστήματα παραγωγής ισχύος( π.χ. Φωτοβολταϊκά ,Ανεμογεννήτριες κ.λ.π.) και τους καταναλωτές Ηλεκτρικής ενέργειας

Μετατροπείς συνεχούς σε συνεχές (DC-DC Μετατροπείς)

Ένας μετατροπέας συνεχούς (DC-DC converter) είναι μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία μετασχηματίζει το συνεχές ρεύμα σε συνεχές διαφορετικού πλάτους . Μπορεί δηλαδή να λειτουργήσει κατά τρόπο παρόμοιο με το μετασχηματιστή εναλλασσόμενου ρεύματος, με τη διαφορά ότι α) μετασχηματίζει μια συνεχή τάση σε συνεχή και όχι εναλλασσόμενη σε εναλλασσόμενη όπως ο μετασχηματιστής και β) ότι η λειτουργία του δεν βασίζεται στο φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής αλλά στους νόμους που διέπουν την λειτουργία των ημιαγωγών.

Έτσι ένας μετατροπέας συνεχούς μπορεί να λειτουργήσει με τρεις διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με την τοπολογία των ηλεκτρονικών διακοπτών που τον απαρτίζουν:

• Ως μετατροπέας υποβιβασμού συνεχούς τάσης (Step down Converter ή Buck Converter)
• Ως μετατροπέας ανύψωσης συνεχούς τάσης (Step up Converter ή Boost Converter) και τέλος
• Ως μετατροπέας ανύψωσης-υποβιβασμού τάσης (Buck-Boost Converter) ανάλογα με το βαθμό χρησιμοποίησης D.

Να σημειωθεί, ότι το πηλίκο του χρόνου Τ_on, κατά τη διάρκεια του οποίου ο διακόπτης άγει, προς τον συνολικό χρόνο Τ της περιόδου λειτουργίας του κυκλώματος ονομάζεται βαθμός χρησιμοποίησης ή κύκλος λειτουργίας (Duty Ratio) του διακόπτη και συμβολίζεται με $D={\operatorname {T_{on}} \over \operatorname {T_{on}+T_{off}} }$.

Καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις, θα μελετηθεί ξεχωριστά.

Σύγκριση DC-DC Μετατροπέων

Ηλεκτρονικό κύκλωμα Υποβιβαστή τάσης (Step Down Converter).

Ηλεκτρονικό κύκλωμα Ανυψωτή τάσης (Step Up Converter).

Ηλεκτρονικό κύκλωμα Μετατροπέα Ανύψωσης-Υποβιβασμού.

Καταστάσεις λειτουργίας του διακόπτη μετατροπέα υποβιβασμού. Στο επάνω διάγραμμα ο διακόπτης άγει ενώ στο κάτω δεν άγει.

Καταστάσεις λειτουργίας του διακόπτη μετατροπέα ανύψωσης. Στο επάνω διάγραμμα ο διακόπτης άγει ενώ στο κάτω δεν άγει.

Καταστάσεις λειτουργίας του διακόπτη μετατροπέα υποβιβασμού-ανύψωσης. Στο επάνω διάγραμμα ο διακόπτης άγει ενώ στο κάτω δεν άγει.

Διαγράμματα Τάσης-Χρόνου (V-t) και Έντασης-Χρόνου (I-t) μετατροπέα υποβιβασμού.

Διαγράμματα Τάσης-Χρόνου (V-t) και Έντασης-Χρόνου (I-t) μετατροπέα ανύψωσης.

Διαγράμματα Τάσης-Χρόνου (V-t) και Έντασης-Χρόνου (I-t) μετατροπέα υποβιβασμού-ανύψωσης.

Μετατροπέας υποβιβασμού συνεχούς τάσης (Step down Converter)

Ο μετατροπέας βγάζει στην έξοδο τάση V_out με πλάτος μικρότερο από το πλάτος της τάσης εισόδου V_in γι'αυτό και ονομάζεται μετατροπέας υποβιβασμού τάσης. H τάση εξόδου δίνεται από την σχέση $V_{out}=D\cdot V_{in}$.

Μετατροπέας Ανύψωσης τάσης

Ο μετατροπέας ανύψωσης τάσης μετασχηματίζει μια συνεχή τάση εισόδου σε μια τάση με μεγαλύτερο πλάτος στην έξοδο. Η σχέση ανάμεσα στην τάση εξόδου και την τάση εισόδου του μετατροπέα δίνεται από την εξίσωση $V_{out}={\operatorname {V_{in}} \over \operatorname {1-D} }$.

Μετατροπέας Ανύψωσης-Υποβιβασμού (Buck-Boost Converter

Ο Μετατροπέας ανύψωσης υποβιβασμού μπορεί άλλοτε να ανυψώνει την τάση, ώστε στην έξοδο να έχουμε τάση μεγαλύτερη από την τάση εισόδου, και άλλοτε να υποβιβάζει την τάση, ώστε στην έξοδο να παίρνουμε τάση μικρότερη από την τάση εισόδου. Αυτό εξαρτάται από τον βαθμό χρησιμοποίησης D, o οποίος καθορίζεται από το κύκλωμα έναυσης και σβέσης του ημιαγωγικού διακόπτη (ενός ή περισσοτέρων). Η εξίσωση, που μας δίνει την σχέση ανάμεσα στην τάση εξόδου και την τάση εισόδου είναι η $V_{out}={\operatorname {D} \over \operatorname {1-D} }V_{in}$.

Οπότε αν το $D>0.5$ τότε ισχύει, όπως βλέπουμε από την προηγούμενη εξίσωση, ότι V_out >V_in και ο μετατροπέας είναι μετατροπέας ανύψωσης. Τα αντίθετα συμβαίνουν όταν το $D<0.5$. Στην περίπτωση αυτή V_out < V_in και το κύκλωμα ισχύος λειτουργεί ως μετατροπέας υποβιβασμού τάσης.

Μετατροπείς εναλλασσόμενου σε συνεχές (AC-DC)(Ανορθώσεις)

Ανορθωτής Πλήρους κύματος με πυκνωτή

Οι ανορθώσεις είναι ηλεκτρονικές διατάξεις οι οποίες μετασχηματίζουν το εναλλασσόμενο ρεύμα σε συνεχές. Όταν ανορθώνουν το εναλλασσόμενο ρεύμα σε όλη τη διάρκεια της περιόδου λέγονται ανορθωτές πλήρους κύματος (Full Wave Rectification) , ενώ όταν ανορθώνουν το εναλλασσόμενο κατά τη μισή περίοδο και το αποκόπτουν στην άλλη μισή περίοδο λέγονται ανορθωτές μισού κύματος. (Half Wave Rectification)

Aνορθωτής πλήρους γέφυρας

Οι ανορθωτές ανάλογα με τους ημιαγωγούς που χρησιμοποιούμε σαν ηλεκτρονικούς διακόπτες διακρίνονται σε μη ελεγχόμενους αν χρησιμοποιούμε διόδους ισχύος και σε ελεγχόμενους αν χρησιμοποιούμε θυρίστορς ή άλλους ελεγχόμενους διακόπτες ισχύος.

Μη ελεγχόμενη ανόρθωση

Στην μη ελεγχόμενη ανόρθωση χρησιμοποιούμε διόδους ισχύος, και είναι δύο ειδών: Μονοφασική εάν η πηγή παρέχει μονοφασικό ρεύμα, ή τριφασική εάν το ρεύμα που παρέχει η πηγή είναι τριφασικό. Στην κάθε μία από τις περιπτώσεις αυτές μπορεί να έχουμε ημιανόρθωση ή πλήρη ανόρθωση. Επίσης , μπορεί να έχουμε φορτίο(δηλαδή καταναλωτή) το οποίο να είναι απλά ωμικό ή να περιέχει και αυτεπαγωγή(δηλαδή πηνίο), οπότε ισχύουν διαφορετικοί τύποι για την τάση και το ρεύμα που παίρνουμε στην έξοδο του συστήματος ισχύος. Παρακάτω εξετάζουμε κάθε μια από τις υποπεριπτώσεις που αναφέραμε ξεχωριστά.

Ημιανόρθωση

Μονοφασική

1) με ωμικό φορτίο

Kυματομορφή ανόρθωσης α) μισού κύματος (Ημιανόρθωση) β) Πλήρους κύματος(Πλήρης ανόρθωση)

Στην περίπτωση αυτή ισχύουν για την τάση και το ρεύμα που παίρνουμε στα άκρα της ωμικής αντίστασης οι εξής σχέσεις:

${V}_{o}={V}_{avg}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{{V}_{m}sin(\omega t)d(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{\pi }}}$=μέση τιμή της τάσης εξόδου

$I_{o}={\operatorname {V_{o}} \over \operatorname {R} }={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }$ = η συνεχής συνιστώσα του ρεύματος εξόδου

${V}_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{{\left[{V}_{m}sin(\omega t)\right]}^{2}}d(\omega t)}}={\frac {{V}_{m}}{2}}$= ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα του ωμικού φορτίου

$I_{rms}={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {2R} }$=ενεργός τιμή του ρεύματος φορτίου

2) Με ωμικό επαγωγικό φορτίο

$i(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{Z}}\left[sin(\omega t-\theta )+sin(\theta ){e}^{-{\frac {\omega t}{\omega \tau }}}\right]$για $0\leq \omega t\leq \beta$

Aνορθωτής μισού κύματος

$i(\omega t)=0$ για $\beta \leq \omega t\leq 2\pi$ όπου $Z={\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}$ = σύνθετη αντίσταση φορτίου

$\theta =tan^{-1}({\operatorname {\omega L} \over \operatorname {R} })$ $\tau ={\operatorname {L} \over \operatorname {R} }$ =σταθερά χρόνου του κυκλώματος

Η γωνία β ονομάζεται γωνία σβέσης και υπολογίζεται από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης:

$sin(\beta -\theta )+sin(\theta )e^{-{\operatorname {\beta } \over \operatorname {\omega \tau } }}=0$ H ενεργός και η μέση τιμή του ρεύματος φορτίου προκύπτουν από τις εξισώσεις:

${I}_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{{i}^{2}(\omega t)d(\omega t)}}}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }{{i}^{2}(\omega t)d(\omega t)}}}$=ενεργός τιμή ρεύματος φορτίου

Aνόρθωση τριφασικής τάσης α) Μισού κύματος β) Πλήρους κύματος

${I}_{o}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }{i(\omega t)d(\omega t)}$=μέση τιμή ρεύματος φορτίου

Πλήρης Ανόρθωση

α) Μονοφασικό ρεύμα

1) Ωμικό Φορτίο

Η μέση και η ενεργός τιμή τάσης και ρεύματος στο φορτίο δίνονται από τις επόμενες εξισώσεις:

${V}_{o}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{{V}_{m}sin(\omega t)d(\omega t)}={\frac {2{V}_{m}}{\pi }}$=μέση τιμή τάσης στα άκρα του φορτίου

$I_{o}={\operatorname {2V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }$= μέση τιμή ρεύματος φορτίου .

Η ενεργός τιμή ρεύματος και τάσης είναι ίδιες όπως και του μη ανορθωμένου ημιτονοειδούς ρεύματος,δηλαδή: $I_{rms}={\operatorname {I_{m}} \over \operatorname {\sqrt {2}} }~~V_{rms}=I_{rms}\cdot R={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {\sqrt {2}} }$

2) Ωμικό -Επαγωγικό Φορτίο (R-L)

Η ανόρθωση τάσης πλήρους κύματος μιάς ημιτονοειδούς τάσης στα άκρα του φορτίου μπορεί να εκφραστεί ως σειρά Fourier η οποία αποτελείται από μία συνιστώσα συνεχούς και άρτιες αρμονικές:

$v_{o}(t)=V_{o}+\sum _{n=2,4,..}^{\infty }V_{n}cos(n\omega _{0}t+\pi )$ όπου $V_{o}={\operatorname {2V_{m}} \over \operatorname {\pi } }$ και $V_{n}={\operatorname {2V_{m}} \over \operatorname {\pi } }{\biggl (}{\operatorname {1} \over \operatorname {n-1} }-{\operatorname {1} \over \operatorname {n+1} }{\biggr )}$

H συνεχής συνιστώσα του ρεύματος και το πλάτος του ρεύματος σε κάθε συχνότητα μπορούν να υπολογιστούν τότε από τις ακόλουθες εξισώσεις:

$I_{o}={\operatorname {V_{o}} \over \operatorname {R} }~~~I_{n}={\operatorname {V_{n}} \over \operatorname {Z_{n}} }={\operatorname {V_{n}} \over \operatorname {|R+jn\omega L} |}$ Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η τάξη της αρμονικής (n) τόσο ελαττώνεται το πλάτος της τάσης , αυξάνεται η σύνθετη αντίσταση Ζ και ελαττώνεται το πλάτος της έντασης του ρεύματος πολύ γρήγορα σε συνάρτηση με τον αριθμό της αρμονικής. Γι'αυτό αρκούν οι λίγοι πρώτοι όροι της σειρας Fourier για να περιγράψουν τις ενεργές τιμές ρεύματος για ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο. Η εξίσωση που μας δίνει την ενεργό τιμή του ρεύματος είναι:

μη ελεγχόμενος ανορθωτής μισού κύματος

$I_{rms}={\sqrt {I_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {I_{n}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}$= ενεργός τιμή ρεύματος φορτίου

β) Τριφασικό ρεύμα

${\bar {V_{o}}}={\operatorname {1} \over \operatorname {\pi /3} }\textstyle \int \limits _{-30}^{30}\displaystyle {\sqrt {2}}V_{rms}cos(\omega t)d(\omega t)={\operatorname {3{\sqrt {2}}} \over \operatorname {\pi } }V_{rms}\cdot (sin30^{0}-sin(-30^{0}))=$

$={\operatorname {3{\sqrt {2}}} \over \operatorname {\pi } }\cdot V_{rms}\cdot 2sin30^{0}\Rightarrow {\bar {V_{o}}}={\operatorname {3{\sqrt {2}}} V_{rms} \over \operatorname {\pi } }$= συνεχής τάση εξόδου της γέφυρας τριφασικής πλήρους ανόρθωσης

Ελεγχόμενη Ανόρθωση

Ελεγχόμενη ανόρθωση με την χρήση Θυρίστορς. Παρατηρούμε ότι αυξάνοντας την γωνία έναυσης μειώνεται η επιφάνεια της κυματομορφής και επομένως μειώνεται η ενεργός τιμή του ρεύματος

Στην ελεγχόμενη ανόρθωση χρησιμοποιούμε ημιαγωγικούς διακόπτες , στους οποίους μπορούμε

να ελέγξουμε την χρονική στιγμή που θα άγουν(γωνία έναυσης) και που θα σβέσουν (γωνία σβέσης).

Κατ'αυτό τον τρόπο διαμορφώνουμε το πλάτος και την ενεργό τιμή της τάσης και της έντασης, σύμφωνα με τις απαιτήσεις του φορτίου. Τέτοιοι ημιαγωγικοί διακόπτες είναι τα θυρίστορς τα GTO (Θυρίστορς που σβένουν από την πύλη) , τα MOSFET ( Τρανζίστορ εγκάρσιου πεδίου Μετάλλου Οξειδίου Ημιαγωγού) κ.α.

Ημιανόρθωση

1) Ωμικό φορτίο

Εφαρμόζουμε ένα σήμα στην πύλη του θυρίστορ τη χρονική στιγμή t ώστε να αρχίσει να άγει. Τότε ωt=α όπου το α ονομάζεται γωνία έναυσης του θυρίστορ. Τότε ισχύουν οι εξής σχέσεις:

V_o= ${\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }{{V}_{m}sin(\omega t)d(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{2\pi }}}\left(1+cos\quad \alpha \right)$= μέση τιμή της συνεχούς τάσης στα άκρα του φορτίου

${V}_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{{v}_{o}^{2}(\omega t)d(\omega t)}}}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }{{\left[{V}_{m}sin(\omega t)\right]}^{2}d(\omega t)}}}={\frac {{V}_{m}}{2}}{\sqrt {1-{\frac {\alpha }{\pi }}+{\frac {sin(2\alpha )}{2\pi }}}}$=ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα του φορτίου.

2) Ωμικό Επαγωγικό φορτίο (R-L)

$i(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{Z}}\left[sin(\omega t-\theta )-sin(\alpha -\theta ){e}^{\frac {\alpha -\omega t}{\omega \tau }}\right]\quad \quad \alpha \leq \omega t\leq \beta$ ή 0 σε διαφορετική περίπτωση

Η γωνία σβέσης β ορίζεται ως η γωνία στην οποία μηδενίζεται το ρεύμα, όπως και στην περίπτωση της μη ελεγχόμενης ανόρθωσης. To β υπολογίζεται από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης :

$sin(\beta -\theta )-sin(\alpha -\theta )e^{\operatorname {(\alpha -\beta )} \over \operatorname {\omega \tau } }=0$ Η γωνία γ=β-α ονομάζεται γωνία αγωγής. Η μέση τιμή της συνεχούς τάσης εξόδου δίνεται από την σχέση:

Γέφυρα Πλήρους Ανόρθωσης

$V_{o}={\operatorname {1} \over \operatorname {2\pi } }\int _{\alpha }^{\beta }V_{m}sin(\omega t)d(\omega t)={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {2\pi } }(cos\alpha -cos\beta )$ . H μέση τιμή του ρεύματος υπολογίζεται από την σχέση: $I_{o}={\operatorname {1} \over \operatorname {2\pi } }\int _{\alpha }^{\beta }i(\omega t)d(\omega t)$ ενώ η ενεργός τιμή του ρεύματος που καταναλώνει το φορτίο δίνεται από την σχέση: $I_{rms}={\sqrt {{\operatorname {1} \over \operatorname {2\pi } }\int _{\alpha }^{\beta }i^{2}(\omega t)d(\omega t)}}$

Πλήρης Ανόρθωση

α) Μονοφασικό ρεύμα

1) Ωμικό φορτίο

Η μέση τιμή αυτής της κυματομορφής ορίζεται από τη σχέση:

$V_{o}={\operatorname {1} \over \operatorname {\pi } }\int _{\alpha }^{\pi }V_{m}sin(\omega t)d(\omega t)={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {\pi } }{\bigl (}1+cos\alpha {\bigr )}$ H μέση τιμή του ρεύματος εξόδου τότε είναι ίση με:

$I_{o}={\operatorname {V_{o}} \over \operatorname {R} }={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }{\bigl (}1+cos\alpha {\bigr )}$ H ενεργός τιμή του ρεύματος που καταναλώνεται στο φορτίο είναι ίση με:

$I_{rms}={\sqrt {{\operatorname {1} \over \operatorname {\pi } }\int _{\alpha }^{\pi }{\biggl (}{\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {R} }sin\omega t{\biggr )}^{2}d(\omega t)}}={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {R} }{\sqrt {{\operatorname {1} \over \operatorname {2} }-{\operatorname {\alpha } \over \operatorname {2\pi } }+{\operatorname {sin(2\alpha )} \over \operatorname {4\pi } }}}$ H ενεργός τιμή του ρεύματος στην πηγή είναι ίση με την ενεργό τιμή του ρεύματος στο φορτίο.

2) Ωμικό-Επαγωγικό φορτίο (R-L)

$i(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{Z}}\left[sin(\omega t-\theta )-sin(\alpha -\theta ){e}^{\frac {\alpha -\omega t}{\omega \tau }}\right]\quad \quad \alpha \leq \omega t\leq \beta$

β) Τριφασικό ρεύμα

Η μέση τιμή της τάσης εξόδου είναι:

${V}_{o}={\frac {1}{\pi /3}}\int _{\pi /3+\alpha }^{2\pi /3+\alpha }{{V}_{m,L-L}sin(\omega t)d(\omega t)}={\frac {3{V}_{m,L-L}}{\pi }}cos\alpha$ H σχέση αυτή δείχνει ότι η μέση τιμή της τάσης εξόδου ελατώνεται καθώς αυξάνεται η γωνία έναυσης.

${\bar {{V}_{o}}}={\frac {1}{\pi /3}}\int _{\alpha -30}^{\alpha +30}{{\sqrt {2}}\cdot {V}_{rms}\cdot cos(\omega t)\cdot d(\omega t)}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\pi }}\cdot {V}_{rms}\cdot \left[sin(\alpha +{30}^{0})-sin(\alpha -{30}^{0})\right]\Rightarrow {\bar {{V}_{o}}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\pi }}{V}_{rms}\cdot cos\quad a$

Κυματομορφή Πλήρους ανόρθωσης τριφασικής τάσης

Τριφασική Ανόρθωση με διόδους

Ελεγχόμενη Τριφασική Ανόρθωση μισού κύματος με Θυρίστορς

Μετατροπείς εναλλασσόμενου σε εναλλασσόμενο (AC-AC Ρυθμιστές τάσης)

Ο ρυθμιστής τάσης είναι ένας μετατροπέας ο οποίος ελέγχει την τάση , το ρεύμα και την μέση ισχύ , η οποία αποδίδεται σε ένα εναλλασσόμενο φορτίο από μια πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος. Οι ηλεκτρονικοί διακόπτες συνδέουν και αποσυνδέουν την πηγή και το φορτίο σε κανονικά διαστήματα, απομακρύνοντας κάποια από την κυματομορφή της πηγής προτού να φτάσει στο φορτίο.

Οι ρυθμιστές εναλλασσόμενου χρησιμοποιούν θυρίστορς συνδεδεμένα αντιπαράλληλα ώστε να διέρχεται το ρεύμα και στις δύο ημιπεριόδους , και έτσι παίρνουμε ένα τμήμα μιας εναλλασσόμενης ημιτονοειδούς κυματομορφής , με ενεργές τιμές τάσης και ρεύματος οι οποίες εξαρτώνται από την γωνία έναυσης και σβέσης του ρυθμιστή.

Ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με την λειτουργία του ρυθμιστή είναι οι ακόλουθες:

• Τα θυρίστορς δεν μπορούν να άγουν ταυτόχρονα
• Η τάση του φορτίου είναι ίδια με την τάση της πηγής όταν άγει οποιοδήποτε από τα SCR(Silicon Control Rectifier= Θυρίστορ)
• Η τάση του διακόπτη είναι μηδέν όταν άγει οποιοδήποτε από τα θυρίστορς και είναι ίση με την τάση της πηγής όταν κανένα δεν άγει.
• Η μέση τιμή του ρεύματος στην πηγή και το φορτίο είναι μηδέν όταν τα SCR άγουν για ίσα χρονικά διαστήματα. Η μέση τιμή του ρεύματος σε κάθε SCR είναι διάφορη του μηδενός.
• Η ενεργός τιμή του ρεύματος σε κάθε SCR είναι ίση με την ενεργό τιμή του ρεύματος του φορτίου διαιρεμένη με την ${\sqrt {2}}$ όταν τα SCR άγουν για ίσα χρονικά διαστήματα.

Λειτουργία Ρυθμιστή με Ωμικό φορτίο

Κατά την λειτουργία του ρυθμιστή τάσης με θυρίστορς , εάν η τάση εισόδου δίνεται από την εξίσωση:$V_{s}=V_{m}sin(\omega t)$ τότε η τάση εξόδου δίνεται από την σχέση: $V_{o}(\omega t)=V_{m}sin(\omega t)~~\gamma \iota \alpha ~~\alpha <\omega t<\pi ~~\kappa \alpha \iota ~~\alpha +\pi <\omega t<2\pi$ ή 0 σε διαφορετική περίπτωση

H ενεργός τιμή της τάσης του φορτίου υπολογίζεται ως εξής:

${V}_{o,rms}={\sqrt {{\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }{{\left[{V}_{m}sin(\omega t)\right]}^{2}d(\omega t)}}}={\frac {{V}_{m}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1-{\frac {\alpha }{\pi }}+{\frac {sin(2\alpha )}{2\pi }}}}$ όπου α=η γωνία έναυσης των thyristor .

H ενεργός τιμή του ρεύματος στο φορτίο ισούται από το νόμο του Ωμ με: $I_{o},rms={\operatorname {V_{o},rms} \over \operatorname {R} }$

Εάν η γωνία έναυσης των θυρίστορ είναι μηδέν τότε η ενεργός τιμή της τάσης και του ρεύματος στην πηγή και το φορτίο είναι ίδιες, όπως προκύπτει εύκολα με αντικατάσταση στους προηγούμενους τύπους.

O συντελεστής ισχύος του φορτίου υπολογίζεται ως εξής:( με Ρ συμβολίζουμε την ενεργό ισχύ στο φορτίο, ενώ με S την φαινομένη ισχύ).

Ο συντελεστής ισχύος ισούται με το πηλίκο της ενεργού προς την φαινομένη ισχύ, δηλαδή:

$pf={\frac {P}{S}}={\frac {P}{{V}_{s,rms}{I}_{s,rms}}}={\frac {{V}_{o,rms}^{2}/R}{{V}_{s,rms}({V}_{o,rms}/R)}}={\frac {{V}_{o,rms}}{{V}_{s,rms}}}$$={\frac {{\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1-{\frac {\alpha }{\pi }}+{\frac {sin(2\alpha )}{2\pi }}}}}{{V}_{m}/{\sqrt {2}}}}\Rightarrow pf={\sqrt {1-{\frac {\alpha }{\pi }}+{\frac {sin(2\alpha )}{2\pi }}}}$=συντελεστής ισχύος

Ο συντελεστής ισχύος γίνεται ίσος με την μονάδα όταν η γωνία έναυσης του θυρίστορ μηδενίζεται.

Η μέση τιμή του ρεύματος της πηγής είναι μηδέν εξαιτίας της συμμετρίας μισού κύματος. Η μέση τιμή του ρεύματος του θυρίστορ δίνεται από την εξίσωση:${I}_{SCR,avg}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }{\frac {{V}_{m}sin(\omega t)}{R}}d(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{2\pi R}}\left(1+cos(\alpha )\right)$ενώ η ενεργός τιμή του ρεύματος για κάθε θυρίστορ επειδή άγει μόνο κατά την μία ημιπερίοδο θα ισούται με: $I_{SCR,rms}={\operatorname {I_{o,rms}} \over \operatorname {\sqrt {2}} }$

Λειτουργία Ρυθμιστή με Ωμικό-Επαγωγικό φορτίο

H εξίσωση η οποία διέπει το κύκλωμα ενός μονοφασικού ρυθμιστή τάσης με ωμικό επαγωγικό φορτίο προκύπτει με εφαρμογή του 2ου νόμου του Kirchhoff στο κύκλωμα και είναι η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

$V_{m}sin(\omega t)=Ri_{0}(t)+L{\operatorname {d} i_{0}(t) \over \operatorname {dt} }$ η εξίσωση ισχύει στη διάρκεια αγωγής του θυρίστορ . Για γωνία έναυσης ίση με α η επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι:

${i}_{0}(\omega t)={\frac {{V}_{m}}{Z}}\left[sin(\omega t-\theta )-sin(\alpha -\theta ){e}^{(\alpha -\omega t)/\omega \tau }\right]$ όταν $\alpha \leq \omega t\leq \beta$ και 0 σε διαφορετική περίπτωση

όπου $Z={\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}$ η σύνθετη εμπέδηση του φορτίου και $\theta =tan^{-1}{\biggl (}{\operatorname {\omega L} \over \operatorname {R} }{\biggr )}$

H γωνία σβέσης β είναι η γωνία στην οποία (λόγω της επαγωγής του πηνίου) μηδενίζεται το ρεύμα. Όταν η φάση είναι ωt=β τότε ισχύει η εξίσωση:

$i_{0}(\beta )=0={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {Z} }[sin(\beta -\theta )-sin(\alpha -\theta )e^{(\alpha -\beta )/\omega \tau }]$ Επιλύουμε αριθμητικά την εξίσωση αυτή και υπολογίζουμε το β. Η γωνία αγωγής ορίζεται ως γ=β-α

Η ανάλυση Fourier της κυματομορφής του ρυθμιστή τάσης δίνει για τους συντελεστές των ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών όρων τους παρακάτω τύπους:

$\alpha _{n}={\operatorname {{\sqrt {2}}V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }[{\operatorname {sin(n+1)\cdot \alpha } \over \operatorname {n+1} }-{\operatorname {sin(n-1)\cdot \alpha } \over \operatorname {n-1} }]$=οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων της σειράς Fourier και

$b_{n}={\operatorname {{\sqrt {2}}V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }[{\operatorname {cos(n+1)\alpha -cos(n+1)\pi } \over \operatorname {n+1} }-{\operatorname {cos(n-1)\alpha -cos(n-1)\pi } \over \operatorname {n-1} }]$ = οι συντελεστές των συνημιτονοειδών όρων της σειράς Fourier.

Η ενεργός τιμή του ρεύματος για κάθε αρμονική της σειράς Fourier υπολογίζεται από την σχέση: $I_{n}={\operatorname {1} \over \operatorname {\sqrt {2}} }{\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

H ενεργός τιμή της πρώτης αρμονικής υπολογίζεται από τους συντελεστές Fourier a₁=${\operatorname {{\sqrt {2}}V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }[\pi -\alpha +{\operatorname {1} \over \operatorname {2} }sin2\alpha ]$ και b₁ =$-{\operatorname {{\sqrt {2}}V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }sin^{2}\alpha$

οπότε από την σχέση $I_{1}={\operatorname {1} \over \operatorname {\sqrt {2}} }[a_{1}^{2}+b_{1}^{2}]$ προκύπτει η ενεργός τιμή του ρεύματος της θεμελιώδους αρμονικής:

$I_{1}={\operatorname {V_{m}} \over \operatorname {\pi R} }\cdot {\sqrt {(\pi -\alpha )^{2}+(\pi -\alpha )\cdot sin2\alpha +sin^{2}\alpha }}$

και η ενεργός τιμή της τάσης της θεμελιώδους αρμονικής είναι: $V_{1}=V_{m}{\sqrt {1-{\alpha \over \pi }+{\operatorname {1} \over \operatorname {2} }{sin2\alpha \over \pi }}}$

Μετατροπείς συνεχούς σε εναλλασσόμενο (Μετατροπείς DC-AC ή Αντιστροφείς)

Μετατροπή του τετραγωνικού παλμού σε ημιτονοειδή κυματομορφή

Μονοφασικός Αντιστροφέας Πλήρους Γέφυρας

Ο Αντιστροφέας (Inverter) ή μετατροπέας dc-ac είναι μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία μετατρέπει το συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα σε εναλλασσόμενο, του οποίου μπορούμε να ρυθμίσουμε το πλάτος και την συχνότητα.

Υπάρχουν αντιστροφείς τετραγωνικού παλμού οι οποίοι δίνουν στην έξοδό τους μια τετραγωνική κυματομορφή, και αντιστροφείς ημιτονοειδούς διαμόρφωσης εύρους παλμού (SPWM=Sinusoidal Pulse Width Modulation) οι οποίοι μπορούν να δώσουν μια κυματομορφή που να πλησιάζει αρκετά την ημιτονοειδή.

Αυτό το πετυχαίνουμε με την σύγκριση της κυματομορφής μιάς γεννήτριας ημιτόνου και μιάς γεννήτριας τριγωνικού παλμού. Η λειτουργία αυτή θα περιγραφεί αναλυτικότερα σε επόμενη παράγραφο.

Αντιστροφέας τετραγωνικού παλμού

Ο αντιστροφέας τετραγωνικού παλμού υλοποιείται με την χρήση μιάς συνδεσμολογίας πλήρους γέφυρας όπως αυτή φαίνεται στο διπλανό σχήμα , η οποία αποτελείται από τέσσερεις ελεγχόμενους διακόπτες (π.χ. IGBT , Thyristor κ.λ.π) σε σύνδεση γέφυρας και τέσσερεις διόδους συνδεμένες στα άκρα κάθε ελεγχόμενου διακόπτη.

Η λειτουργία του μονοφασικού αντιστροφέα τετραγωνικού παλμού έχει ως εξής:

Όταν άγουν οι διακόπτες S₁₊ και S_2- οι άλλοι δύο διακόπτες είναι σε αποκοπή(δεν άγουν). Ετσι έχουμε τον θετικό πόλο της τάσης εξόδου στο αριστερό άκρο του φορτίου και τον αρνητικό στο δεξί άκρο. Στην δεύτερη ημιπερίοδο άγουν οι διακόπτες S_1- και S₂₊ ενώ οι προηγούμενοι δύο διακόπτες είναι σε αποκοπή. Στην περίπτωση αυτή , ο θετικός πόλος της τάσης εξόδου είναι στο δεξί άκρο του φορτίου και ο αρνητικός είναι στο αριστερό. Δηλαδή έχουμε την αντίθετη πολικότητα στην έξοδο. Κατ' αυτό τον τρόπο παίρνουμε τετραγωνικούς παλμούς αντίθετης πολικότητας και μετατρέπουμε το συνεχές ρεύμα εισόδου σε εναλλασσόμενο στην έξοδο(φορτίο). Οι δίοδοι διέλευσης χρειάζονται για να μεταφέρουν τυχόν επιστροφές ρεύματος από την έξοδο στην είσοδο. Λειτουργούν δηλαδή σαν ανορθώσεις από την μεριά του εναλλασσόμενου της εξόδου στο συνεχές στην μεριά της πηγής.

Τετραγωνικός κυματοσυρμός στην έξοδο μονοφασικού αντιστροφέα

Το πλάτος της θεμελιώδους συχνότητας για την έξοδο τετραγωνικού κύματος από τον αντιστροφέα πλήρους γέφυρας προσδιορίζεται από το πλάτος της συνεχούς τάσης εισόδου της πηγής. Τροποποιώντας το διακοπτικό σχήμα του μονοφασικού αντιστροφέα που παρουσιάσαμε παρα πάνω, δηλαδή τροποποιώντας την γωνία έναυσης των ελεγχόμενων διακοπτικών στοιχείων της γέφυρας,μπορούμε να πάρουμε μια έξοδο ελεγχόμενου πλάτους. Αυτή η τάση εξόδου μπορεί να ελεγχθεί ρυθμίζοντας το πλάτος του παλμού. Η ενεργός τιμή της τετραγωνικής κυματομορφής γίνεται τότε:

$V_{rms}={\sqrt {{\operatorname {1} \over \operatorname {\pi } }\int \limits _{\alpha }^{\pi -\alpha }V_{dc}^{2}d(\omega t)}}=V_{dc}{\sqrt {1-{\operatorname {2\alpha } \over \operatorname {\pi } }}}$

Η ενεργός τιμή της θεμελιώδους ή πρώτης αρμονικής του τετραγωνικού παλμού ισούται με:$V_{rms}={\operatorname {4V} \over \operatorname {\pi {\sqrt {2}}} }\cdot sin{\operatorname {\delta } \over \operatorname {2} }={\operatorname {4V} \over \operatorname {\pi {\sqrt {2}}} }\cdot sin({\operatorname {\pi } \over \operatorname {2} }-\alpha )={\operatorname {4V} \over \operatorname {\pi {\sqrt {2}}} }cos(\alpha )\Rightarrow V_{o}=V_{rms}\cdot {\sqrt {2}}\Rightarrow V_{o}={\operatorname {4V} \over \operatorname {\pi } }\cdot cos(\alpha )$ όπου δ είναι το πλάτος του παλμού και α είναι η γωνία έναυσης του διακόπτη. Παρατηρούμε ότι όταν αυξάνουμε την γωνία έναυσης (α) το πλάτος της τάσης εξόδου στα άκρα του φορτίου ελαττώνεται.

Γενικότερα εάν θέλουμε να υπολογίσουμε το πλάτος της αρμονικής n τάξεως της τάσης εξόδου , αυτό το πετυχαίνουμε με την ακόλουθη μαθηματική διαδικασία:

${V}_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi -\alpha }{{V}_{dc}sin(n{\omega }_{0}t)d({\omega }_{0}t)}={\frac {2{V}_{dc}}{\pi n}}\int _{\alpha }^{\pi -\alpha }{sin(n{\omega }_{0}t)d(n{\omega }_{0}t)}$ $={\frac {2{V}_{dc}}{\pi n}}\left(-cos(n{\omega }_{0}t)\right)_{\alpha }^{\pi -\alpha }={\frac {2{V}_{dc}}{n\pi }}\left(-cos(n(\pi -\alpha )+cos(n\alpha )\right)=$

${\frac {2{V}_{dc}}{\pi n}}(cos(n\alpha )+cos(n\alpha ))\quad \quad =>\quad {V}_{n}={\frac {4{V}_{dc}}{\pi n}}cos(na)$ Εάν στην τελευταία σχέση θέσουμε όπου n=1 θα βρούμε το πλάτος της τάσης της πρώτης αρμονικής όπως το υπολογίσαμε προηγουμένως.

Αντιστροφέας Διαμόρφωσης εύρους παλμού (SPWM)

Ημιτονοειδής διαμόρφωση εύρους παλμού

Το SPWM παράγεται σαν αποτέλεσμα της σύγκρισης ανάμεσα σε μια ημιτονοειδή και μια τριγωνική κυματομορφή. Το κύκλωμα που χρησιμοποιείται περιλαμβάνει:

1. Μια γεννήτρια ημιτόνου συχνότητας 50Hz

2. Μία γεννήτρια τριγωνικής κυματομορφής πολύ μεγάλης συχνότητας . Οσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα της τριγωνικής κυματομορφής τόσο λεπτότερη γίνεται η διαμέριση των τετραγωνικών παλμών και συνεπώς τόσο περισσότερο προσεγγίζεται η ημιτονοειδής μορφή του σήματος SPWM.

Σύγκριση ημιτονοειδούς και τριγωνικής κυματομορφής για την δημιουργία παλμών SPWM

3. Ένα αναλογικό αντιστροφέα ο οποίος αντιστρέφει την κυματομορφή της ημιτονοειδούς γεννήτριας , παράγοντας στην έξοδό του μια ημιτονοειδή κυματομορφή η οποία έχει διαφορά φάσης 180⁰ από την ημιτονοειδή μορφή της ημιτονοειδούς γεννήτριας.

4. Δύο συγκριτές , εκ των οποίων ο ένας συγκρίνει την τριγωνική μορφή με την ημιτονοειδή κυματομορφή της γεννήτριας ημιτόνου και παράγει τους θετικούς παλμούς του SPWM και ο άλλος συγκρίνει την τριγωνική κυματομορφή με την αντεστραμένη κυματομορφή στην έξοδο του αναλογικού αντιστροφέα συμμετρικά και παράγει συμμετρικά αντίθετους παλμούς του SPWM.

Αυξομοιώνοντας το πλάτος του ημιτόνου διαμορφώνουμε την ενεργό τάση εξόδου επειδή διαμορφώνoυμε το εύρος του παλμού. Ο τριγωνικός παλμός ρυθμίζει την ποιότητα της ισχύος εξόδου όπως αναφέρθηκε παραπάνω σχετικά με την προσέγγιση της ημιτονοειδούς κυματομορφής, αφού έτσι μπορεί να περιορίσει τις αρμονικές.

Η ολική αρμονική παραμόρφωση THD(Total Harmonic Distortion) υπολογίζεται σύμφωνα με την σχέση:

$THD={\operatorname {\sqrt {_{n=2}^{\Sigma ^{\infty }}(V_{n,rms})^{2}}} \over \operatorname {V_{1,rms}} }={\operatorname {\sqrt {V_{rms}^{2}-V_{1,rms}^{2}}} \over \operatorname {V_{1,rms}} }$

H διαμόρφωση πλάτους παλμού (PWM) παρέχει έναν τρόπο για να ελαττώσουμε την συνολική αρμονική παραμόρφωση του ρεύματος φόρτου. Μια έξοδος αντιστροφέα PWM , με κάποιο φίλτρο , μπορεί να ανταποκριθεί γενικά στις απαιτήσεις της THD πιο εύκολα από το διακοπτικό σχήμα του τετραγωνικού κύματος. Η διαμόρφωση εύρους παλμών προσεγγίζει την ημιτονοειδή μορφή τόσο περισσότερο όσο περισσότεροι τετραγωνικοί παλμοί την αποτελούν. Ετσι μπορούμε να δημιουργήσουμε σχεδόν ημιτονοειδείς κυματομορφές και να αποφύγουμε τις αρμονικές οι οποίες είναι αναπόφευκτες στην περίπτωση του τετραγωνικού παλμού. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε μια κυματομορφή αποδεκτή από τις διάφορες ηλεκτρικές και ηλεκτρονικές συσκευές. Ο συντελεστής διαμόρφωσης συχνότητας m_f ορίζεται ως ο λόγος των συχνοτήτων του τριγωνικού κύματος και του ημιτονοειδούς κύματος. δηλαδή $m_{f}={\operatorname {f_{tri}} \over \operatorname {f_{sine}} }$ Όταν αυξάνουμε την συχνότητα του τριγωνικού κύματος (δηλαδή αυξάνουμε το m_f) αυξάνεται η συχνότητα στην εμφανίζονται οι ανεπιθύμητες αρμονικές. Τα παράσιτα στην κυματομορφή εμφανίζονται στην αρμονική με εξίσωση f=(2m_f -2)f_sine . Ένα μειονέκτημα της υψηλής διακοπτικής συχνότητας είναι οι σημαντικές διακοπτικές απώλειες στους διακόπτες του αντιστροφέα.

Ο συντελεστής διαμόρφωσης πλάτους ορίζεται ως ο λόγος του πλατών των σημάτων του ημιτονοειδούς προς το τριγωνικό: $M_{a}={\operatorname {V_{m,sine}} \over \operatorname {V_{m,tri}} }$=συντελεστής διαμόρφωσης πλάτους. Η θεμελιώδης του αντιστροφέα ισούται με : $V_{1,out}={\operatorname {M_{a}\cdot V_{in}} \over \operatorname {\sqrt {2}} }$

Τριφασικός Αντιστροφέας

Τριφασικός Αντιστροφέας

Ο τριφασικός αντιστροφέας μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί σύστημα δύο μονοφασικών αντιστροφέων συνδεδεμένων σε σειρά όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Από την πλακέτα ελέγχου ξεκινάνε έξη δίπολα (για τον τριφασικό αντιστροφέα) που συνδέονται με κάθε ένα από τους ημιαγωγούς διακόπτες( ένα πόλο στη Gate και ένα πόλο στη δίοδο διέλευσης). Για τον μονοφασικό αντιστροφέα έχουμε τέσσερα δίπολα. Η δειγματοληψία ρεύματος λέγεται ανάδραση ρεύματος και η δειγματοληψία τάσης λέγεται ανάδραση τάσης.

Οι συντελεστές Fourier για τις πολικές τάσεις του τριφασικού PWM διακοπτικού σχήματος σχετίζονται με εκείνες του μονοφασικού διπολικού PWM : $V_{n,3}={\sqrt {{A_{n,3}^{2}}+B_{n,3}^{2}}}$ όπου

$A_{n,3}=V_{n}sin{\Bigl (}{\operatorname {n\pi } \over \operatorname {2} }{\Bigr )}sin{\Bigl (}{\operatorname {n\pi } \over \operatorname {3} }{\Bigr )}$ και $B_{n,3}=V_{n}cos{\Bigl (}{\operatorname {n\pi } \over \operatorname {2} }{\Bigr )}sin{\Bigl (}{\operatorname {n\pi } \over \operatorname {3} }{\Bigr )}$ Tα πλεονεκτήματα του διακοπτικού σχήματος PWM είναι τα ακόλουθα:

Ελαττωμένες απαιτήσεις φίλτρου για την απόσβεση των αρμονικών και δυνατότητα εύκολου ελέγχου του πλάτους της θεμελιώδους συχνότητας.

Βιβλιογραφικές πηγές

• Hart, Daniel (2011). Kara Kudronowicz, επιμ. Power Electronics. 1221 Avenue of the Americas , New York , NY 10020: McGraw-Hill ,NY 10020. ISBN 978-0-07-338067-4. 

• Newell, William (1977). Introduction to Solid State Power Electronics. 200 Hillis Street YoungWood , PA 15697-1800: POWEREX,INC. 
• Κιοσκερίδης Ιορδάνης " Ηλεκτρονικά Ισχύος " . Θεσσαλονίκη 2008 εκδ. Τζιόλα . ISBN 978-960-418-158-2

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• IEEE
• Φωτοβολταϊκό σύστημα