Θεμελιώδης ομάδα Étale

Η θεμελιώδης ομάδα Étale είναι ένα ανάλογο στην αλγεβρική γεωμετρία, για τα σχήματα, της συνήθους θεμελιώδους ομάδας των τοπολογικών χώρων.

Τοπολογικό ανάλογο/άτυπη συζήτηση

Στην αλγεβρική τοπολογία, η θεμελιώδης ομάδα $\pi _{1}(X,x)$ ενός σημειακού τοπολογικού χώρου $(X,x)$ ορίζεται ως η ομάδα των κλάσεων ομοτοπίας των βρόχων με βάση το $x$. Αυτός ο ορισμός λειτουργεί καλά για χώρους όπως οι πραγματικές και μιγαδικές πολλαπλότητες, αλλά δίνει ανεπιθύμητα αποτελέσματα για μια αλγεβρική ποικιλία με την τοπολογία Ζαρίσκι.

Στην ταξινόμηση των χώρων κάλυψης, αποδεικνύεται ότι η θεμελιώδης ομάδα είναι ακριβώς η ομάδα των μετασχηματισμών κάλυψης του καθολικού χώρου κάλυψης. Αυτό είναι πιο ελπιδοφόρο: οι πεπερασμένοι étale μορφισμοί των αλγεβρικών ποικιλιών είναι το κατάλληλο ανάλογο των χώρων κάλυψης των τοπολογικών χώρων. Δυστυχώς, μια αλγεβρική ποικιλία $X$ συχνά αποτυγχάνει να έχει ένα "καθολικό κάλυμμα" που να είναι πεπερασμένο πάνω στο $X$, οπότε πρέπει να εξετάσουμε ολόκληρη την κατηγορία των πεπερασμένων étale καλυμμάτων του $X$. Στη συνέχεια, μπορεί κανείς να ορίσει την étale θεμελιώδη ομάδα ως αντίστροφο όριο των πεπερασμένων ομάδων αυτομορφισμού.

Τυπικός ορισμός

Έστω $X$ ένα συνδεδεμένο και τοπικά Ναιτεριανό σχήμα, έστω $x$ ένα γεωμετρικό σημείο του $X,$ και έστω $C$ η κατηγορία των ζευγών $(Y,f)$ έτσι ώστε $f\colon Y\to X$ να είναι ένας πεπερασμένος étale μορφισμός από ένα σχήμα $Y.$ Οι μορφισμοί $(Y,f)\to (Y',f')$ σε αυτή την κατηγορία είναι μορφισμοί $Y\to Y'$ ως σχήματα πάνω στο $X.$ Αυτή η κατηγορία έχει έναν φυσικό συναρτητή προς την κατηγορία των συνόλων, δηλαδή τον συναρτητή:

$F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);$

γεωμετρικά αυτή είναι η ίνα του $Y\to X$ πάνω από το $x,$ και αφηρημένα είναι ο συναρτητής Γιονέντα που αντιπροσωπεύεται από το $x$ στην κατηγορία των σχημάτων πάνω από το $X$. Ο συναρτητής $F$ τυπικά δεν είναι αναπαραστάσιμος στο $C$, ωστόσο είναι προ-αναπαραστάσιμος στο $C$, και μάλιστα από καλύψεις Γκαλουά του $X$. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε ένα προβολικό σύστημα $\{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}$ στο $C$, με δείκτη ένα κατευθυνόμενο σύνολο $I,$ όπου τα $X_{i}$ είναι 'καλύψεις Γκαλουά του $X$, δηλαδή πεπερασμένα étale σχήματα πάνω στο $X$ τέτοια ώστε $\#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)$. Σημαίνει επίσης ότι έχουμε δώσει έναν ισομορφισμό συναρτητών:

$F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)$.

Συγκεκριμένα, έχουμε ένα σημειωμένο σημείο $P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})$ του προβολικού συστήματος.

Για δύο τέτοια $X_{i},X_{j}$ ο χάρτης $X_{j}\to X_{i}$ επάγει έναν ομοιομορφισμό ομάδας $\operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})$ ο οποίος παράγει ένα προβολικό σύστημα ομάδων αυτομορφισμού από το προβολικό σύστημα $\{X_{i}\}$. Στη συνέχεια διατυπώνουμε τον ακόλουθο ορισμό: η étale θεμελιώδης ομάδα $\pi _{1}(X,x)$ της $X$ στο $x$ είναι το αντίστροφο όριο:

$\pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),$

με την αντίστροφη οριακή τοπολογία.

Ο τελεστής $F$ είναι τώρα ένας τελεστής από το $C$ στην κατηγορία των πεπερασμένων και συνεχών συνόλων $\pi _{1}(X,x)$ και καθιερώνει μια ισοδυναμία κατηγοριών μεταξύ του $C$ και της κατηγορίας των πεπερασμένων και συνεχών συνόλων $\pi _{1}(X,x)$.

Παραδείγματα και θεωρήματα

Το πιο βασικό παράδειγμα είναι η $\pi _{1}(\operatorname {Spec} k)$, η étale θεμελιώδης ομάδα ενός σώματος $k$. Ουσιαστικά εξ ορισμού, η θεμελιώδης ομάδα του $k$ μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ισόμορφη με την απόλυτη ομάδα Γκαλουά $\operatorname {Gal} (k^{sep}/k)$. Πιο συγκεκριμένα, η επιλογή ενός γεωμετρικού σημείου του $\operatorname {Spec} (k)$ είναι ισοδύναμη με το να δοθεί ένα διαχωρίσιμα κλειστό σώμα επέκτασης $K$, και η étale θεμελιώδης ομάδα ως προς αυτό το σημείο βάσης ταυτίζεται με την ομάδα Γκαλουά $\operatorname {Gal} (K/k)$. Αυτή η ερμηνεία της ομάδας Γκαλουά είναι γνωστή ως θεωρία Γκαλουά του Γκρότεντικ.

Γενικότερα, για κάθε γεωμετρικά συνδεδεμένη ποικιλία $X$ πάνω από ένα πεδίο $k$ (δηλαδή, $X$ είναι τέτοια ώστε $X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}$ να είναι συνδεδεμένη) υπάρχει μια ακριβής ακολουθία προπεπεπερασμένων ομάδων:

$1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.$

Σχήματα πάνω σε σώμα χαρακτηριστικού μηδενός

Για ένα σχήμα $X$ που είναι πεπερασμένου τύπου πάνω από το $\mathbb {C}$, τους μιγαδικούς αριθμούς, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της étale θεμελιώδους ομάδας του $X$ και της συνήθους, τοπολογικής, θεμελιώδους ομάδας του $X(\mathbb {C} )$, του μιγαδικού αναλυτικού χώρου που συνδέεται με το $X$. Η αλγεβρική θεμελιώδης ομάδα, όπως συνήθως ονομάζεται σε αυτή την περίπτωση, είναι η προ-πεπερασμένη ολοκλήρωση του $\pi _{1}(X)$. Αυτό είναι συνέπεια του θεωρήματος ύπαρξης Ρίμαν, το οποίο αναφέρει ότι όλες οι πεπερασμένες étale καλύψεις της $X(\mathbb {C} )$ προέρχονται από αυτές της $X$. Ειδικότερα, καθώς η θεμελιώδης ομάδα των λείων καμπυλών πάνω από το $\mathbb {C}$ (δηλ. ανοικτές επιφάνειες Ρίμαν) είναι καλά κατανοητή- αυτό καθορίζει την αλγεβρική θεμελιώδη ομάδα. Γενικότερα, η θεμελιώδης ομάδα ενός κατάλληλου σχήματος πάνω σε οποιοδήποτε αλγεβρικά κλειστό σώμα χαρακτηριστικού μηδέν είναι γνωστή, επειδή μια επέκταση αλγεβρικά κλειστών σωμάτων επάγει ισόμορφες θεμελιώδεις ομάδες.

Σχήματα πάνω από ένα σώμα θετικής χαρακτηριστικής και η εξημερωμένη θεμελιώδης ομάδα

Για ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα $k$ θετικής χαρακτηριστικής, τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά, καθώς υπάρχουν καλύψεις Αρτίν-Σρέιερ σε αυτή την περίπτωση. Παραδείγματος χάριν, η θεμελιώδης ομάδα της αφινικής γραμμής $\mathbf {A} _{k}^{1}$ δεν είναι τοπολογικά πεπερασμένης παραγωγής. Η εξημερωμένη θεμελιώδης ομάδα κάποιου σχήματος U είναι ένα πηλίκο της συνήθους θεμελιώδους ομάδας του $U$ που λαμβάνει υπόψη μόνο τις καλύψεις που είναι εξημερωμένα διακλαδισμένες κατά μήκος του $D$, όπου $X$ είναι κάποια συμπύκνωση και $D$ είναι το συμπλήρωμα της $U$ στο $X$. Παραδείγματος χάριν, η εξημερωμένη θεμελιώδης ομάδα της αφινικής γραμμής είναι μηδέν.

Αφινικά σχήματα σε σώμα χαρακτηριστικού p

Αποδεικνύεται ότι κάθε αφινικό σχήμα $X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}$ είναι ένας $K(\pi ,1)$-χώρος, με την έννοια ότι ο etale τύπος ομοτοπίας του $X$ καθορίζεται εξ ολοκλήρου από την etale ομάδα ομοτοπίας του. Ας σημειωθεί ότι $\pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})$ όπου ${\overline {x}}$ είναι ένα γεωμετρικό σημείο.

Περαιτέρω θέματα

Από κατηγοριοθεωρητική άποψη, η θεμελιώδης ομάδα είναι ένας συναρτησιακός:

{Σημειακές αλγεβρικές ποικιλίες} → {Pro πεπερασμένες ομάδες}.

Το αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά αναρωτιέται ποιες ομάδες μπορούν να προκύψουν ως θεμελιώδεις ομάδες (ή ομάδες Γκαλουά επεκτάσεων σωμάτων). Η αναμπελιανή γεωμετρία, για παράδειγμα η εικασία της τομής του Γκρότεντικ, προσπαθεί να προσδιορίσει κλάσεις ποικιλιών που καθορίζονται από τις θεμελιώδεις ομάδες τους.

Ο Φρίντλαντερ (Friedlander (1982)) μελετά τις ανώτερες ομάδες ομοτοπίας étale μέσω του τύπου ομοτοπίας étale ενός σχήματος.

Η pro-étale θεμελιώδης ομάδα

Οι Μπάτ & Σόλζε (Bhatt & Scholze (2015, §7)) εισήγαγαν μια παραλλαγή της étale θεμελιώδους ομάδας που ονομάζεται pro-étale θεμελιώδης ομάδα. Κατασκευάζεται θεωρώντας, αντί για πεπερασμένα étale κάλυψεις, χάρτες οι οποίοι είναι και étale και ικανοποιούν το αξιολογικό κριτήριο της ορθότητας. Για γεωμετρικά μονοδιάστατα σχήματα (π.χ. κανονικά σχήματα), οι δύο προσεγγίσεις συμφωνούν, αλλά γενικά η pro-étale θεμελιώδης ομάδα είναι μια πιο λεπτή αναλλοίωτη: η pro-πεπεπερασμένη συμπλήρωσή της είναι η étale θεμελιώδης ομάδα.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Πιερ Ντελίν
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι
• Τοπολογία Étale

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• The Arithmetic of Fundamental Groups: PIA 2010
• Rational Points and Arithmetic of Fundamental Groups: Evidence for the ...
• Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra: 1999 Von Neumann ...
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), «The pro-étale topology for schemes», Astérisque: 99–201 
• Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies, 104, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08288-2 
• Murre, J. P. (1967), Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research 
• Tamagawa, Akio (1997), «The Grothendieck conjecture for affine curves», Compositio Mathematica 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142 
• This article incorporates material from étale fundamental group on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.