Θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ

Το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ είναι μαθηματικό θεώρημα στη θεωρία του κόσκινου. Είναι ένα βασικό συστατικό σε αποδείξεις του θεωρήματος του Τσεν σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ. Αποδείχθηκε το 1965 από τους Βόλφγκανγκ Μπ. Γιούρκατ και Χανς-Έγκον Ρίχερτ.

Δήλωση του θεωρήματος

Αυτή η διατύπωση είναι από τους Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ. Άλλες διατυπώσεις είναι από τους Γιούρκατ και Ρίχερτ, Χάλμπερσταμ και Ρίχτερτ, και Νάθανσον.

Ας υποθέσουμε ότι Α είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ακέραιων και Ρ είναι ένα σύνολο πρώτων αριθμών. Γράφουμε A_d για τον αριθμό των στοιχείων του Α που διαιρούνται με το d και Ρ(z) για το γινόμενο από τα στοιχεία του Ρ που είναι μικρότερα από το z. Γράφουμε το ω(d) για την πολλαπλασιαστική συνάρτηση έτσι ώστε το ω(p)/p να είναι περίπου ο λόγος των στοιχείων του Α που διαιρούνται από το p. Τέλος γράφουμε X για οποιαδήποτε κατάλληλη προσέγγιση του |A|, και να γράψει το υπόλοιπο ως

$r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.$

Γράφουμε S(A,P,z) για τον αριθμό των στοιχείων σε Α που είναι σχετικά πρώτοι P(z). Γράφουμε

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).$

Γράφουμε ν(m) για τον αριθμό των διακριτών πρώτων διαιρετών του m. Γράφουμε F₁ και f₁ για τις εξισώσεις που πληρούν ορισμένες διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ για τον ορισμό και ιδιότητες).

Υποθέτουμε ότι η διάσταση (πυκνότητα κοσκινίσματος) είναι 1: όπου υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε για το 2 ≤ z < w να έχουμε

$\prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).$

(Το βιβλίο των Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ επεκτείνει το θεώρημα σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1.), Τότε το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ ορίζει ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς ψ και z με 2 ≤ z ≤ y ≤ X έχουμε

$S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|$

και

$S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.$