Κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ

Στη μαθηματική θεωρία των τυχαίων πινάκων, η κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ ή ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ περιγράφει την ασυμπτωτική συμπεριφορά των μοναδιαίων τιμών μεγάλων ορθογώνιων τυχαίων πινάκων. Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους σοβιετικούς μαθηματικούς Βολοντίμιρ Μαρτσένκο και Λεονίντ Παστούρ, οι οποίοι απέδειξαν αυτό το αποτέλεσμα το 1967.

Διάγραμμα της κατανομής Μαρτσένκο-Παστούρ για διάφορες τιμές του λάμδα

Αν $X$ συμβολίζει έναν τυχαίο πίνακα $m\times n$ του οποίου οι καταχωρήσεις είναι ανεξάρτητες ταυτόσημα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή 0 και διακύμανση $\sigma ^{2}<\infty$, έστω

$Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}$

και έστω $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}$ είναι οι ιδιοτιμές του $Y_{n}$ (θεωρούμενες ως τυχαίες μεταβλητές). Τέλος, ας θεωρήσουμε το τυχαίο μέτρο

$\mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .$

μετρώντας τον αριθμό των ιδιοτιμών στο υποσύνολο $A$ που περιλαμβάνεται στο $\mathbb {R}$.

Θεώρημα. Έστω ότι that $m,\,n\,\to \,\infty$ έτσι ώστε ο λόγος $m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )$. Τότε $\mu _{m}\,\to \,\mu$(σε ασθενή* τοπολογία στην κατανομή), όπου

$\mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}$

και

$d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx$

με

$\lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.$

Ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ εμφανίζεται επίσης ως ελεύθερος νόμος Πουασόν στην ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων, με ρυθμό $1/\lambda$ και μέγεθος άλματος $\sigma ^{2}$.

Ροπές

Για κάθε $k\geq 1$, its $k$-th ροπή του είναι

$\sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}$

Ορισμένοι μετασχηματισμοί αυτού του νόμου

Ο μετασχηματισμός του Στίλτζες δίνεται από τη σχέση

$s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda )-z+{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}$

για μιγαδικούς αριθμούς z με θετικό φανταστικό μέρος, όπου η μιγαδική τετραγωνική ρίζα θεωρείται ότι έχει επίσης θετικό φανταστικό μέρος. Ο μετασχηματισμός Στίλτζες μπορεί να επαναδιατυπωθεί στη μορφή του μετασχηματισμού R, ο οποίος δίνεται από

$R(z)={\frac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}\lambda z}}$

Ο μετασχηματισμός S δίνεται από τη σχέση

$S(z)={\frac {1}{\sigma ^{2}(1+\lambda z)}}.$

Εφαρμογή σε πίνακες συσχέτισης

Για την ειδική περίπτωση των πινάκων συσχέτισης, γνωρίζουμε ότι

$\sigma ^{2}=1$ and $\lambda =m/n$. Αυτό περιορίζει τη μάζα πιθανοτήτων στο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση

$\lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.$

Δεδομένου ότι η κατανομή αυτή περιγράφει το φάσμα των τυχαίων πινάκων με μέσο όρο 0, οι ιδιοτιμές των πινάκων συσχέτισης που εμπίπτουν στο προαναφερθέν διάστημα θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ψευδείς ή θόρυβος. Παραδείγματος χάριν, η λήψη ενός πίνακα συσχέτισης 10 αποδόσεων μετοχών που υπολογίζονται για μια περίοδο 252 ημερών διαπραγμάτευσης θα απέδιδε $\lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43$. Έτσι, από τις 10 ιδιοτιμές του εν λόγω πίνακα συσχέτισης, μόνο οι τιμές μεγαλύτερες από 1,43 θα θεωρούνταν σημαντικά διαφορετικές από τις τυχαίες.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Broad, William J. (8 Αυγούστου 2015). «29 U.S. Scientists Praise Iran Nuclear Deal in Letter to Obama». The New York Times. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2015. 
• Brockman, John (1996). «Chap. 9 The Pattern-Recognizer». Digerati: Encounters with the Cyber Elite. HardWired. ISBN 978-1888869040. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 7 Οκτωβρίου 1999. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd έκδοση), Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Aldrich, John (2006), «Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms», στο: Miller, Jeff, επιμ., Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, https://jeff560.tripod.com/e.html 
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Beezer, Robert A. (2006), A first course in linear algebra, Free online book under GNU licence, University of Puget Sound, https://linear.ups.edu/, ανακτήθηκε στις 2024-09-08 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
• Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of ...
• The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Bai, Zhidong· Silverstein, Jack W. (2010). Spectral analysis of large dimensional random matrices. Springer Series in Statistics (Second edition of 2006 original έκδοση). New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-0661-8. ISBN 978-1-4419-0660-1. MR 2567175. Zbl 1301.60002. 
• Epps, Brenden; Krivitzky, Eric M. (2019). «Singular value decomposition of noisy data: mode corruption». Experiments in Fluids 60 (8): 1–30. doi:10.1007/s00348-019-2761-y. Bibcode: 2019ExFl...60..121E. 
• Götze, F.; Tikhomirov, A. (2004). «Rate of convergence in probability to the Marchenko–Pastur law». Bernoulli 10 (3): 503–548. doi:10.3150/bj/1089206408. 
• Marchenko, V. A.; Pastur, L. A. (1967). «Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц» (στα ru). Mat. Sb.. N.S. 72 (114:4): 507–536. doi:10.1070/SM1967v001n04ABEH001994. Bibcode: 1967SbMat...1..457M.  Link to free-access pdf of Russian version
• Nica, A.· Speicher, R. (2006). Lectures on the Combinatorics of Free probability theory. Cambridge Univ. Press. σελίδες 204, 368. ISBN 0-521-85852-6.  Link to free download Another free access site
• Tulino, Antonia M.; Verdú, Sergio (2004). «Random matrix theory and wireless communications». Foundations and Trends in Communications and Information Theory 1 (1): 1–182. doi:10.1561/0100000001. . 
• Zhang, W.; Abreu, G.; Inamori, M.; Sanada, Y. (2011). «Spectrum sensing algorithms via finite random matrices». IEEE Transactions on Communications 60 (1): 164–175. doi:10.1109/TCOMM.2011.112311.100721.