Κεντρική δύναμη

• Αυτό το λήμμα αναφέρεται στη δύναμη της φυσικής. Για τον γεωπολιτικό όρο, δείτε Κεντρικές Δυνάμεις.

Στην κλασική μηχανική κεντρική δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα ονομάζεται μια δύναμη της οποίας το μέτρο εξαρτάται μόνο από την απόσταση r του σώματος από το σημείο από το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται η δύναμη, και επιπλέον η δύναμη έχει τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει το σώμα με το σημείο αυτό:

${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(||\mathbf {r} ||){\hat {\mathbf {r} }}$

όπου $\scriptstyle {\vec {\text{ F }}}$ είναι η δύναμη, F είναι μια διανυσματική συνάρτηση δυνάμεως, F είναι μια βαθμωτή (μονόμετρη) τέτοια συνάρτηση, r είναι το διάνυσμα θέσης, ||r|| είναι το μέτρο του και $\scriptstyle {\hat {\mathbf {r} }}$ = r/||r|| είναι το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα.

Οι κεντρικές δυνάμεις δεν είναι ολες σφαιρικά συμμετρικές. Μπορεί να αποδειχθεί ότι μία κεντρική δύναμη είναι συντηρητική αν και μόνο αν είναι σφαιρικά συμμετρική.

Ιδιότητες

Οι κεντρικές δυνάμεις που είναι συντηρητικές μπορούν πάντα να εκφρασθούν ως η αρνητική κλίση (βαθμίδα) ενός δυναμικού:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} ){\text{, με }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$

(το άνω όριο στην ολοκλήρωση είναι αυθαίρετο, καθώς το δυναμικό ορίζεται με μία προσθετική σταθερά).

Σε ένα πεδίο συντηρητικών δυνάμεων, η ολική μηχανική ενέργεια (κινητική συν δυναμική) διατηρείται:

$E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{σταθ.}}$

(όπου το ṙ συμβολίζει την παράγωγος του r ως προς τον χρόνο, δηλαδή την ταχύτητα). Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάμεων διατηρείται επιπλέον και η στροφορμή:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{σταθ.}}$

Η αιτία είναι ότι η ροπή που ασκείται από τη δύναμη είναι πάντα μηδέν. Ως συνέπεια, το σώμα κινείται πάνω στο επίπεδο που είναι κάθετο στο διάνυσμα της στροφορμής, και η κίνησή του υπακούει στον δεύτερο νόμο του Κέπλερ. (Αν η στροφορμή είναι μηδέν, τότε το σώμα κινείται κατά μήκος της ευθείας που το συνδέει με το σημείο από το οποίο πηγάζει η δύναμη.)

Αντιθέτως, ο πρώτος και ο τρίτος νόμος του Κέπλερ εξαρτώνται από το ότι η νευτώνεια βαρύτητα υπακούει σε νόμο αντιστρόφου τετραγώνου, οπότε δεν ισχύουν γενικά για όλες τις κεντρικές δυνάμεις.

Ως συνέπεια του διατηρητικού τους χαρακτήρα, αυτά τα πεδία κεντρικών δυνάμεων είναι αστρόβιλα, δηλαδή οη στροβιλισμός τους είναι μηδέν, εκτός από το σημείο από όπου ασκείται η δύναμη:

$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} {\text{.}}$

Παραδείγματα

Η νευτώνεια βαρύτητα και η δυνάμεις Κουλόμπ είναι δύο οικεία παραδείγματα κεντρικών δυνάμεων F(r) που ακολουθούν τον νόμο του αντίστροφου τετραγώνου. Το σώμα που δέχεται τέτοια δύναμη και επιπλέον το F είναι αρνητικό (δηλαδή η δύναμη είναι και ελκτική) υπακούει και στους τρεις νόμους του Κέπλερ.

Η δύναμη ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι κεντρική, με το F(r) ανάλογο του r και αρνητικό.

Αποδεικνύεται (Θεώρημα του Bertrand) ότι οι δύο αυτές δυνάμεις, δηλαδή η F(r) = −k/r² και η F(r) = −kr, είναι οι μόνες κεντρικές δυνάμεις που μπορούν να υπάρξουν στον τριδιάστατο χώρο, για τις οποίες όλες οι δέσμιες τροχιές είναι σταθερές κλειστές τροχιές. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες δυνάμεις που έχουν κάποιες κλειστές τροχιές.