Κενό σύνολο
Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως , ή . Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως[1][2][3]
- ,
δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό.
Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως
Ιδιότητες
Επεξεργασία- Το κενό σύνολο είναι μοναδικό.
Απόδειξη |
Δύο σύνολα και είναι ίσα ανν
Έστω ότι υπήρχαν δύο κενά σύνολα και , τότε είναι ίσα καθώς η παραπάνω διπλή συνεπαγωγή ικανοποιείται για κάθε αφού και είναι ψευδή από τον ορισμό των κενών συνόλων. |
- Για κάθε σύνολο , ισχύει ότι .
Απόδειξη |
Για κάθε στοιχείο , Επομένως, . |
- Για κάθε σύνολο , ισχύει ότι
Απόδειξη |
Για κάθε στοιχείο , Επομένως, . |
- Το δυναμοσύνολο του κενού συνόλου είναι το σύνολο .
- Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου , δηλαδή .
Απόδειξη |
Για κάθε στοιχείο , έχουμε ότι
Επομένως, . |
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
- ↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
- ↑ Ντζιώρας, Ηλίας Β. (1975). Μαθηματικά Ε' Γυμνασίου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 20–22.