Υποσύνολο

σύνολο του οποίου όλα τα στοιχεία περιέχονται σε ένα άλλο σύνολο

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου και συμβολίζουμε με , εάν κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο (ανήκει) του δηλαδή ισχύει:[1]:5[2]

Διάγραμμα Βεν όπου το σύνολο είναι υποσύνολο του συνόλου .

Για παράδειγμα, το είναι υποσύνολο του . Το σύνολο λέγεται και υπερσύνολο του και συμβολίζεται ως .

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο περιέχεται στο σύνολο ή ακόμα ότι το σύνολο είναι υπερσύνολο του συνόλου και γράφουμε . Μπορούμε να θεωρήσουμε το ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη για τα οποία ισχύει .

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του είναι το δυναμοσύνολο .

Παραδείγματα

Επεξεργασία

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:

  • Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων.
  •  .
  •  .
  • Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών.
  • Όλα τα δυνατά υποσύνολα του   είναι τα εξής:
 .

Ιδιότητες

Επεξεργασία
  • Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή   για κάθε σύνολο  .
  • Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή   για κάθε σύνολο  .

Γνήσιο υποσύνολο

Επεξεργασία

Αν το σύνολο   είναι υποσύνολο του   και επίσης ισχύει ότι  , δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του   το οποίο να μην ανήκει στο  , τότε λέμε ότι το σύνολο   είναι γνήσιο υποσύνολο του   και το συμβολίζουμε με   ή με  . Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο   ή  .

Παραδείγματα

Επεξεργασία
  •  .
  • Το σύνολο των φυσικών αριθμών   είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων  , δηλαδή  .
  • Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή  .
  • Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή  .

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023. 
  2. Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.