Κλίση συνάρτησης

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι $g(x)=mx+b$. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.

$m={\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

για δύο οποιαδήποτε σημεία $(x_{1},\,g(x_{1})\,),(x_{2},\,g(x_{2})\,)$ , όταν $x_{1}$ διάφορο $x_{2}$ .Αν $x_{1}=x_{2}$ Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.

Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης $\,f(x)$ σε κάποιο σημείο $\,x_{1}$ είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο $(x_{1},\,f(x_{1}))$ με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο $\,x_{2}$ κοντά στο $\,x_{1}$ η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία $(x_{1},\,f(x_{1}))$ και $(x_{2},\,f(x_{2}))$ έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο $\,x_{2}$ στο σημείο $\,x_{1}$, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου $\,x_{2}$ στο σημείο $\,x_{1}$ και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

$f'(x_{1})=\lim _{x_{2}\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}}$

Η τιμή $\,f'(x_{1})$ ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης $\,f(x)$ στο σημείο $\,x_{1}$. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το $\,x_{2}$ τείνει στο $\,x_{1}$. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση $\,f(x)$ ονομάζεται διαφορίσιμη, αν όχι, μη διαφορίσιμη.