Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος

Στα μαθηματικά, ο Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος, πήρε το όνομά του από την Έμι Νέτερ, είναι ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο τα κλειστά υποσύνολα ικανοποιούν τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας. Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα ανοικτά υποσύνολα ικανοποιούν τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας, αφού είναι τα συμπληρώματα των κλειστών υποσυνόλων. Η ιδιότητα του Ναιτεριανού τοπολογικού χώρου μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια ισχυρή συνθήκη συμπαγούς, δηλαδή ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός τέτοιου χώρου είναι συμπαγές, και στην πραγματικότητα είναι ισοδύναμη με τη φαινομενικά ισχυρότερη δήλωση ότι κάθε υποσύνολο είναι συμπαγές.

Ορισμός Επεξεργασία

Ένας τοπολογικός χώρος $X$ καλείται Ναιτεριανός αν ικανοποιεί τη συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας για κλειστά υποσύνολα: για κάθε ακολουθία

Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots

κλειστών υποσυνόλων $Y_{i}$ του $X$ , υπάρχει ένας ακέραιος $m$ τέτοιος ώστε $Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots .$

Ιδιότητες Επεξεργασία

Ένας τοπολογικός χώρος $X$ είναι Ναιτεριανός αν και μόνο αν κάθε υποχώρος του $X$ είναι συμπαγής (δηλαδή, $X$ είναι κληρονομικά συμπαγής), και αν και μόνο αν κάθε ανοικτό υποσύνολο του $X$ είναι συμπαγές^[1].
Κάθε υποχώρος ενός Ναιτεριανού χώρου είναι Ναιτεριανός.
Η συνεχής εικόνα ενός Ναιτεριανού χώρου είναι Ναιτεριανή.^[2]
Μια πεπερασμένη ένωση Ναιτεριανών υποχώρων ενός τοπολογικού χώρου είναι Ναιτεριανή.^[3]
Κάθε Ναιτεριανός χώρος Χάουσντορφ είναι πεπερασμένος με τη διακριτή τοπολογία.

Απόδειξη: Κάθε υποσύνολο του X είναι συμπαγές σε ένα χώρο Χάουσντορφ, άρα κλειστό. Άρα ο X έχει τη διακριτή τοπολογία, και επειδή είναι συμπαγής, πρέπει να είναι πεπερασμένος.

Κάθε Ναιτεριανός χώρος X έχει πεπερασμένο αριθμό μη αναγώγιμων συνιστωσών.^[4] Αν οι μη αναγώγιμες συνιστώσες είναι $X_{1},...,X_{n}$ , τότε $X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}$ , και καμία από τις συνιστώσες $X_{i}$ δεν περιέχεται στην ένωση των άλλων συνιστωσών.

Από την αλγεβρική γεωμετρία Επεξεργασία

Πολλά παραδείγματα Ναιτεριανών τοπολογικών χώρων προέρχονται από την αλγεβρική γεωμετρία, όπου για την τοπολογία Ζαρίσκι ένα μη αναγώγιμο σύνολο έχει τη διαισθητική ιδιότητα ότι κάθε κλειστό κατάλληλο υποσύνολο έχει μικρότερη διάσταση. Δεδομένου ότι η διάσταση μπορεί να " μεταβεί προς τα κάτω" μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό φορών, και τα αλγεβρικά σύνολα αποτελούνται από πεπερασμένες ενώσεις μη αναγώγιμων συνόλων, οι φθίνουσες αλυσίδες κλειστών συνόλων Ζαρίσκι πρέπει τελικά να είναι σταθερές.

Ένας πιο αλγεβρικός τρόπος για να το δούμε αυτό είναι ότι τα συσχετιζόμενα ιδεώδη που ορίζουν αλγεβρικά σύνολα πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας. Αυτό προκύπτει επειδή οι δακτύλιοι της αλγεβρικής γεωμετρίας, με την κλασική έννοια, είναι Ναιτεριανοί δακτύλιοι. Αυτή η κατηγορία παραδειγμάτων αιτιολογεί επομένως και το όνομα.

Αν ο R είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανὀς δακτύλιος, τότε το Spec(R), το πρωταρχικό φάσμα του R, είναι ένας Ναιτεριανὀς τοπολογικός χώρος. Γενικότερα, ένα Ναιτεριανὀ σχήμα είναι ένας Ναιτεριανὀς τοπολογικός χώρος. Το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού υπάρχουν μη-Ναιτεριανοί δακτύλιοι με ένα μόνο πρώτο ιδεώδες, οπότε το Spec(R) αποτελείται από ακριβώς ένα σημείο και επομένως είναι ένας Ναιτεριανὀς χώρος.

Παράδειγμα Επεξεργασία

Ο χώρος $\mathbb {A} _{k}^{n}$ (αφινικός $n$ -χώρος πάνω από ένα πεδίο $k$ ) σύμφωνα με την τοπολογία Ζαρίσκι είναι ένα παράδειγμα τοπολογικού χώρου Noetherian. Από τις ιδιότητες των ιδεωδών ενός υποσυνόλου του $\mathbb {A} _{k}^{n}$ , γνωρίζουμε ότι αν

Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots

είναι μια φθίνουσα αλυσίδα κλειστών υποσυνόλων Ζαρίσκι, τότε

I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots

είναι μια αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών του $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ Εφόσον το $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, υπάρχει ένας ακέραιος $m$ τέτοιος ώστε

I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .

Δεδομένου ότι $V(I(Y))$ είναι το κλείσιμο του Y για όλα τα Y, $V(I(Y_{i}))=Y_{i}$ για όλα τα $i.$ Συνεπώς

Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots

όπως απαιτείται.

Εφαρμογή Επεξεργασία

Ένας Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος έχει μόνο πεπερασμένο αριθμό μη αναγώγιμων συνιστωσών ^[5].

Ειδικότερα, μια αφινική ποικιλία έχει πεπερασμένο αριθμό μη αναγώγιμων συνιστωσών.

Δεδομένου ότι η απλή απόδειξη απεικονίζει τον τυπικά "Ναιτεριανό" τρόπο συλλογισμού, την αναπαράγουμε εν συντομία εδώ: Έστω ${\mathcal {A}}$ το σύνολο όλων των κλειστών υποσυνόλων που δεν είναι πεπερασμένη ένωση μη αναγώγιμων συνόλων. Υποθέτοντας ότι το σύνολο αυτό δεν είναι κενό, περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο $A_{0}$ λόγω της συνθήκης του ελαχίστου για τα κλειστά σύνολα. Αυτό δεν μπορεί να είναι μη αναγώγιμο ως στοιχείο του ${\mathcal {A}}$ , οπότε είναι η ένωση δύο πραγματικών κλειστών συνόλων $A_{1}$ και $A_{2}$ . Εφόσον το $A_{0}$ είναι ελάχιστο, τα $A_{1}$ και $A_{2}$ δεν είναι του ${\mathcal {A}}$ και επομένως είναι πεπερασμένες ενώσεις μη αναγώγιμων συνόλων. Αλλά τότε η $A_{0}=A_{1}\cup A_{2}$ είναι επίσης πεπερασμένη ένωση μη αναγώγιμων συνόλων, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την $A_{0}\in {\mathcal {A}}$ . Επομένως, το ${\mathcal {A}}$ είναι κενό, και ειδικότερα ο ίδιος ο χώρος είναι πεπερασμένη ένωση μη αναγώγιμων συνόλων, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Συμβατότητα Επεξεργασία

Αν ορίσουμε τη Συμβατότητα με την ιδιότητα της επικάλυψης και εγκαταλείψουμε την ιδιότητα Χάουσντορφ (ορισμένοι συγγραφείς μιλούν για οιονεί συμπαγείς χώρους), έχουμε : ^[6]

Κάθε Ναιτεριανός χώρος είναι οιονεί συμπαγής.
Ένας τοπολογικός χώρος είναι Ναιτεριανός αν και μόνο αν κάθε υποσύνολο είναι οιονεί συμπαγές με τη σχετική τοπολογία.

Δημοσιεύσεις Επεξεργασία

COMMUTATIVE ALGEBRA (pdf)
Algebraic geometry by Hartshorne, Robin Springer, 1977, ISBN 0-387-90244-9.

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Lie Groups and Algebraic Groups

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Topology.
Encyclopaedia of Mathematics: Monge—Ampère Equation — Rings and Algebras
Commutative Algebra: Chapters 1-7, Τόμος 1

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ «general topology - $V$ is Noetherian space if only if every open subset of $V$ is compact». Mathematics Stack Exchange.
↑ «Lemma 5.9.3 (04Z8)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu.
↑ «Lemma 5.9.4 (0053)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu.
↑ «general topology - Question about Noetherian topological spaces». Mathematics Stack Exchange.
↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz I.2.14
↑ I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 2: Noetherian Spaces

[1] «general topology - $V$ is Noetherian space if only if every open subset of $V$ is compact». Mathematics Stack Exchange.

[2] «Lemma 5.9.3 (04Z8)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu.

[3] «Lemma 5.9.4 (0053)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu.

[4] «general topology - Question about Noetherian topological spaces». Mathematics Stack Exchange.

[5] Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz I.2.14

[6] I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 2: Noetherian Spaces

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]